Страница 21 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Мерзляк, Полонский

8. У Буратино было 23 монеты по 3 сольдо и по 5 сольдо на общую сумму 93 сольдо. Сколько монет по 3 сольдо было у него?

Пусть было $x$ монет по 3 сольдо. Поскольку всего было 23 монеты, то монет по 5 сольдо было

Решение.

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — количество монет номиналом 3 сольдо, которое было у Буратино.

Поскольку всего у него было 23 монеты, то количество монет номиналом 5 сольдо можно выразить как $(23 - x)$.

Общая стоимость монет по 3 сольдо составляет $3 \cdot x$ сольдо.

Общая стоимость монет по 5 сольдо составляет $5 \cdot (23 - x)$ сольдо.

Согласно условию, общая сумма всех денег равна 93 сольдо. Мы можем составить уравнение, сложив стоимости монет обоих номиналов:

$3x + 5(23 - x) = 93$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$. Сначала раскроем скобки:

$3x + 5 \cdot 23 - 5 \cdot x = 93$

$3x + 115 - 5x = 93$

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ и числовые слагаемые:

$115 - (5x - 3x) = 93$

$115 - 2x = 93$

Перенесем 115 в правую часть уравнения, изменив знак:

$-2x = 93 - 115$

$-2x = -22$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на -2:

$x = \frac{-22}{-2}$

$x = 11$

Таким образом, мы нашли, что у Буратино было 11 монет по 3 сольдо.

Выполним проверку. Если монет по 3 сольдо было 11, то монет по 5 сольдо было $23 - 11 = 12$.
Проверим общую сумму: $11 \cdot 3 + 12 \cdot 5 = 33 + 60 = 93$ сольдо.
Результат совпадает с условием задачи, значит, решение верное.

Ответ: 11 монет.

9. На двух автостоянках было поровну автомобилей. Когда с первой стоянки уехали 7 автомобилей, а на вторую заехали 11 автомобилей, то на первой стоянке стало автомобилей в 3 раза меньше, чем на второй. Сколько автомобилей было на каждой стоянке сначала?

Решение.

Пусть на каждой стоянке было сначала $x$ автомобилей. Потом на

первой стоянке стало ( ) автомобилей, а на второй —

( ) автомобилей. Поскольку по условию значение выражения в 3 раза меньше значения выражения ,

то получаем уравнение

Отсюда

Решение.

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — это первоначальное количество автомобилей на каждой стоянке.

После того как с первой стоянки уехали 7 автомобилей, на ней осталось $(x - 7)$ автомобилей.

После того как на вторую стоянку заехали 11 автомобилей, на ней стало $(x + 11)$ автомобилей.

По условию задачи, на первой стоянке стало в 3 раза меньше автомобилей, чем на второй. Это означает, что если количество автомобилей на первой стоянке умножить на 3, то оно будет равно количеству автомобилей на второй. На основе этого составим уравнение:

$3 \cdot (x - 7) = x + 11$

Отсюда найдем значение $x$, решив уравнение:

1. Раскроем скобки в левой части:

$3x - 21 = x + 11$

2. Перенесем слагаемые, содержащие переменную $x$, в левую часть уравнения, а числовые значения — в правую. При переносе знак меняется на противоположный:

$3x - x = 11 + 21$

3. Упростим обе части уравнения:

$2x = 32$

4. Найдем $x$, разделив обе части на 2:

$x = \frac{32}{2}$

$x = 16$

Следовательно, первоначально на каждой стоянке было 16 автомобилей.

Проверим полученный результат:

• Количество автомобилей на первой стоянке после изменений: $16 - 7 = 9$.
• Количество автомобилей на второй стоянке после изменений: $16 + 11 = 27$.
• Сравним количество автомобилей: $27 / 9 = 3$. На первой стоянке автомобилей стало в 3 раза меньше, чем на второй. Условие задачи выполнено.

Ответ: сначала на каждой стоянке было 16 автомобилей.

2. Подчеркните номера формул, задающих линейные функции.

1) $y = 4x - 7;$

2) $y = 6 - 0,9x;$

3) $y = \frac{x}{5} + 2;$

4) $y = 0,8x;$

5) $y = \frac{5}{x} + 2;$

6) $y = 3x^2 + 1;$

7) $y = 8;$

8) $y = \frac{x+1}{11}.$

Линейной называется функция, которую можно задать формулой вида $y = kx + b$, где $x$ — независимая переменная, а $k$ и $b$ — некоторые числа. Графиком такой функции является прямая линия. Проверим каждую из предложенных формул на соответствие этому определению.

1) $y = 4x - 7$
Данная формула полностью соответствует виду $y = kx + b$. В этом случае коэффициенты равны $k = 4$ и $b = -7$. Это линейная функция.
Ответ: является линейной функцией.

2) $y = 6 - 0,9x$
Формулу можно переписать, поменяв слагаемые местами: $y = -0,9x + 6$. Это вид $y = kx + b$ с коэффициентами $k = -0,9$ и $b = 6$. Это линейная функция.
Ответ: является линейной функцией.

3) $y = \frac{x}{5} + 2$
Запишем дробь $\frac{x}{5}$ в виде произведения: $y = \frac{1}{5}x + 2$. Эта формула также имеет вид $y = kx + b$, где $k = \frac{1}{5}$ и $b = 2$. Это линейная функция.
Ответ: является линейной функцией.

4) $y = 0,8x$
Эту формулу можно представить как $y = 0,8x + 0$. Она является частным случаем линейной функции при $b = 0$. Коэффициенты: $k = 0,8$ и $b = 0$. Это линейная функция (прямая пропорциональность).
Ответ: является линейной функцией.

5) $y = \frac{5}{x} + 2$
Здесь переменная $x$ находится в знаменателе. Это означает, что зависимость $y$ от $x$ является обратной пропорциональностью (со сдвигом). Такую функцию нельзя привести к виду $y = kx + b$. Это нелинейная функция.
Ответ: не является линейной функцией.

6) $y = 3x^2 + 1$
В этой формуле переменная $x$ возведена во вторую степень ($x^2$). Это определяет функцию как квадратичную, а не линейную. Графиком является парабола. Это нелинейная функция.
Ответ: не является линейной функцией.

7) $y = 8$
Данную функцию можно записать как $y = 0 \cdot x + 8$. Это частный случай линейной функции при $k = 0$. Коэффициенты: $k = 0$ и $b = 8$. Это линейная функция (постоянная функция), ее график — прямая, параллельная оси абсцисс.
Ответ: является линейной функцией.

8) $y = \frac{x+1}{11}$
Эту формулу можно преобразовать, разделив числитель почленно на знаменатель: $y = \frac{x}{11} + \frac{1}{11}$. Это можно записать как $y = \frac{1}{11}x + \frac{1}{11}$. Формула соответствует виду $y = kx + b$ с коэффициентами $k = \frac{1}{11}$ и $b = \frac{1}{11}$. Это линейная функция.
Ответ: является линейной функцией.

Таким образом, формулы, задающие линейные функции, находятся под номерами 1, 2, 3, 4, 7 и 8. Именно эти номера и следует подчеркнуть.

3. Подчеркните номера формул, задающих функции прямой пропорциональности.

1) $y = 3x$;

2) $y = \frac{3}{x}$;

3) $y = \frac{x}{3}$;

4) $y = -\frac{x}{7}$.

Функция прямой пропорциональности — это функция, которую можно задать формулой вида $y=kx$, где $x$ — независимая переменная, а $k$ — не равное нулю число, называемое коэффициентом пропорциональности. Проанализируем каждую из предложенных формул.

1) $y=3x$

Эта формула имеет вид $y=kx$, где коэффициент пропорциональности $k=3$. Следовательно, данная функция является прямой пропорциональностью.

Ответ: является функцией прямой пропорциональности.

2) $y=\frac{3}{x}$

Эта формула задает функцию вида $y=\frac{k}{x}$ (где $k=3$). В такой зависимости переменная $x$ находится в знаменателе, и она называется обратной пропорциональностью. Это не является функцией прямой пропорциональности.

Ответ: не является функцией прямой пропорциональности.

3) $y=\frac{x}{3}$

Данную формулу можно представить в стандартном виде для прямой пропорциональности. Если вынести коэффициент, получится $y=\frac{1}{3}x$. Эта формула соответствует виду $y=kx$, где коэффициент $k=\frac{1}{3}$.

Ответ: является функцией прямой пропорциональности.

4) $y=-\frac{x}{7}$

Эту формулу также можно преобразовать к виду $y=kx$, записав ее как $y=(-\frac{1}{7})x$. Здесь коэффициент пропорциональности $k=-\frac{1}{7}$. Следовательно, это функция прямой пропорциональности.

Ответ: является функцией прямой пропорциональности.

Таким образом, формулы, задающие функции прямой пропорциональности, находятся под номерами 1, 3 и 4.

4. Функция задана формулой $y = 0,4x + 3$. Заполните таблицу.

Для того чтобы заполнить таблицу, необходимо для каждой пустой ячейки использовать заданную формулу $y = 0,4x + 3$. Если известно значение $x$, мы подставляем его в формулу и вычисляем $y$. Если известно значение $y$, мы подставляем его в формулу и решаем получившееся уравнение, чтобы найти $x$.

Найдем значение $y$ при $x = -2$
Подставляем $x = -2$ в формулу функции:
$y = 0,4 \cdot (-2) + 3$
$y = -0,8 + 3$
$y = 2,2$
Ответ: 2,2

Найдем значение $x$ при $y = -2$
Подставляем $y = -2$ в формулу и решаем уравнение относительно $x$:
$-2 = 0,4x + 3$
$0,4x = -2 - 3$
$0,4x = -5$
$x = \frac{-5}{0,4}$
$x = -12,5$
Ответ: -12,5

Найдем значение $y$ при $x = 0$
Подставляем $x = 0$ в формулу функции:
$y = 0,4 \cdot 0 + 3$
$y = 0 + 3$
$y = 3$
Ответ: 3

Найдем значение $x$ при $y = 0$
Подставляем $y = 0$ в формулу и решаем уравнение относительно $x$:
$0 = 0,4x + 3$
$0,4x = -3$
$x = \frac{-3}{0,4}$
$x = -7,5$
Ответ: -7,5

Найдем значение $y$ при $x = 5$
Подставляем $x = 5$ в формулу функции:
$y = 0,4 \cdot 5 + 3$
$y = 2 + 3$
$y = 5$
Ответ: 5

Найдем значение $x$ при $y = -13$
Подставляем $y = -13$ в формулу и решаем уравнение относительно $x$:
$-13 = 0,4x + 3$
$0,4x = -13 - 3$
$0,4x = -16$
$x = \frac{-16}{0,4}$
$x = -40$
Ответ: -40

В результате получаем заполненную таблицу:

5. Функция задана формулой $y = 0,6x$. Заполните таблицу.

x: 10, 0,6, -5, -1,2

y: 4,8, -60, $\frac{1}{3}$

Для заполнения таблицы воспользуемся заданной формулой $y = 0,6x$. В зависимости от того, какая переменная известна, мы будем либо вычислять $y$ по известному $x$, либо находить $x$ по известному $y$.

Вычисление значений y

При $x = 10$

Подставляем значение $x$ в формулу:

$y = 0,6 \cdot 10 = 6$

Ответ: 6

При $x = 0,6$

Подставляем значение $x$ в формулу:

$y = 0,6 \cdot 0,6 = 0,36$

Ответ: 0,36

При $x = -5$

Подставляем значение $x$ в формулу:

$y = 0,6 \cdot (-5) = -3$

Ответ: -3

При $x = -1,2$

Подставляем значение $x$ в формулу:

$y = 0,6 \cdot (-1,2) = -0,72$

Ответ: -0,72

Вычисление значений x

Сначала выразим $x$ из исходной формулы $y = 0,6x$. Для этого разделим обе части уравнения на $0,6$:

$x = \frac{y}{0,6}$

При $y = 4,8$

Подставляем значение $y$ в полученную формулу для $x$:

$x = \frac{4,8}{0,6} = \frac{48}{6} = 8$

Ответ: 8

При $y = -60$

Подставляем значение $y$ в формулу для $x$:

$x = \frac{-60}{0,6} = \frac{-600}{6} = -100$

Ответ: -100

При $y = \frac{1}{3}$

Для удобства вычислений представим десятичную дробь $0,6$ в виде обыкновенной: $0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.

Теперь подставим значения $y$ и $0,6$ в виде дробей в формулу для $x$:

$x = \frac{y}{0,6} = \frac{1/3}{3/5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{3} = \frac{5}{9}$

Ответ: $\frac{5}{9}$

6. Постройте график функции $y = 4x - 5$.

Решение.

Составим таблицу значений данной функции для двух произвольных значений аргумента.

x

y

Отметим на координатной плоскости точки ( ; ) и ( ; ) и проведём через них прямую.

Эта прямая является графиком линейной функции $y = 4x - 5$.

Составим таблицу значений данной функции для двух произвольных значений аргумента. Так как функция $y = 4x - 5$ является линейной, её графиком будет прямая линия. Для построения прямой достаточно найти координаты двух любых её точек.

Выберем два удобных значения для аргумента $x$ и вычислим соответствующие значения функции $y$:

• Пусть $x = 1$. Тогда $y = 4 \cdot 1 - 5 = 4 - 5 = -1$. Получили первую точку с координатами (1; -1).
• Пусть $x = 2$. Тогда $y = 4 \cdot 2 - 5 = 8 - 5 = 3$. Получили вторую точку с координатами (2; 3).

Заполним таблицу значений:

Отметим на координатной плоскости точки (1; -1) и (2; 3) и проведём через них прямую.

Эта прямая является графиком линейной функции $y = 4x - 5$.

Ответ: График функции $y = 4x - 5$ – это прямая линия, которая проходит через точки с координатами (1; -1) и (2; 3).