Страница 17 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Мерзляк, Полонский

3. В 5 больших и 7 маленьких мешков разложили 136 кг орехов. В каждый большой мешок положили на 8 кг орехов больше, чем в каждый маленький. По сколько килограммов орехов положили в маленькие мешки?

Решение.

Пусть в каждый маленький мешок положили $x$ кг орехов.

Тогда в каждый большой мешок положили кг.

В 5 больших мешков поместилось кг, а в 7 маленьких — кг.

Поскольку всего было 136 кг орехов, то получаем уравнение

Решение.

Для решения задачи введем переменную и составим уравнение, следуя плану, предложенному в условии.

Пусть в каждый маленький мешок положили $x$ кг орехов.

Из условия известно, что в каждый большой мешок положили на 8 кг орехов больше, чем в маленький. Тогда в каждый большой мешок положили $(x + 8)$ кг.

Общее количество орехов в 5 больших мешках составляет: В 5 больших мешков поместилось $5 \cdot (x + 8)$ кг.

Общее количество орехов в 7 маленьких мешках составляет: а в 7 маленьких — $7x$ кг.

Поскольку всего было 136 кг орехов, то получаем уравнение:

$5(x + 8) + 7x = 136$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти вес орехов в одном маленьком мешке ($x$).

1. Раскроем скобки в левой части уравнения:

$5x + 5 \cdot 8 + 7x = 136$

$5x + 40 + 7x = 136$

2. Приведем подобные слагаемые:

$(5x + 7x) + 40 = 136$

$12x + 40 = 136$

3. Перенесем 40 из левой части в правую с противоположным знаком:

$12x = 136 - 40$

$12x = 96$

4. Найдем $x$:

$x = \frac{96}{12}$

$x = 8$

Таким образом, в каждый маленький мешок положили 8 кг орехов. В вопросе задачи спрашивается, сколько всего килограммов орехов положили в маленькие мешки. Для этого умножим количество маленьких мешков на вес орехов в одном таком мешке:

$7 \text{ мешков} \times 8 \text{ кг/мешок} = 56 \text{ кг}$

Ответ: в маленькие мешки положили 56 кг орехов.

8. При каком значении a точка C $(-3; 1)$ принадлежит графику функции $y = 2x^2 - 3x + a$?

Решение.

Подставив координаты точки C в формулу, задающую данную функцию, получаем:

Отсюда

Ответ: при a =

Решение.

Для того чтобы точка принадлежала графику функции, ее координаты должны удовлетворять уравнению этой функции. Точка $C$ имеет координаты $x = -3$ и $y = 1$ .

Подставив координаты точки С в формулу, задающую данную функцию, получаем:

$1 = 2 \cdot (-3)^2 - 3 \cdot (-3) + a$

Отсюда

Решим полученное уравнение относительно переменной $a$ . Сначала упростим правую часть:

$1 = 2 \cdot 9 - (-9) + a$

$1 = 18 + 9 + a$

$1 = 27 + a$

Теперь выразим $a$ :

$a = 1 - 27$

$a = -26$

Таким образом, при значении $a = -26$ график функции $y = 2x^2 - 3x - 26$ будет проходить через точку $C(-3; 1)$ .

Ответ: при a = -26.

9. При каком значении а график функции $y = 2ax - x^2$ проходит через точку B $(-1; 0)$?

Решение.

Ответ:

Решение.

Для того чтобы график функции $y = 2ax - x^2$ проходил через точку $B(-1; 0)$, координаты этой точки должны удовлетворять уравнению функции. Это означает, что при подстановке значений $x = -1$ и $y = 0$ в уравнение функции мы должны получить верное равенство.

Подставим координаты точки $B$ в уравнение функции:

$0 = 2 \cdot a \cdot (-1) - (-1)^2$

Теперь упростим полученное выражение:

$0 = -2a - 1$

Решим это линейное уравнение относительно переменной $a$. Перенесем слагаемое с $a$ в левую часть уравнения, изменив его знак:

$2a = -1$

Разделим обе части уравнения на 2:

$a = -\frac{1}{2}$

Следовательно, при $a = -0.5$ график функции $y = 2ax - x^2$ будет проходить через точку $B(-1; 0)$.

Ответ: $-0.5$.

10. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения с осями координат графика функции:

1) $y = 27x - 3x^3$;

2) $y = 12 - 6x$;

3) $y = (x + 3)(x - 1)(x - 5).$

Решение.

1) Точка принадлежит оси абсцисс тогда и только тогда, когда её

равна . Поэтому для нахождения координат точки пересечения графика функции с осью абсцисс надо решить уравнение. Имеем:

Следовательно, график данной функции имеет с осью абсцисс общие точки с координатами

Точка принадлежит оси ординат тогда и только тогда, когда её

равна . Поэтому для нахождения координат точки пересечения графика функции с осью ординат надо найти значение данной функции при x = . Имеем: y =

Следовательно, график функции пересекает ось ординат в точке

с координатами

1) Для функции $y = 27x - 3x^3$.

Чтобы найти координаты точек пересечения графика с осью абсцисс (осью Ox), необходимо приравнять ординату $y$ к нулю и решить полученное уравнение:
$27x - 3x^3 = 0$
Вынесем общий множитель $3x$ за скобки:
$3x(9 - x^2) = 0$
Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ для выражения в скобках:
$3x(3 - x)(3 + x) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
$3x = 0 \implies x_1 = 0$
$3 - x = 0 \implies x_2 = 3$
$3 + x = 0 \implies x_3 = -3$
Следовательно, график функции пересекает ось абсцисс в точках с координатами $(-3, 0)$, $(0, 0)$ и $(3, 0)$.

Чтобы найти координаты точки пересечения графика с осью ординат (осью Oy), необходимо подставить значение абсциссы $x = 0$ в уравнение функции:
$y = 27 \cdot 0 - 3 \cdot 0^3 = 0$
Следовательно, график функции пересекает ось ординат в точке с координатами $(0, 0)$.

Ответ: точки пересечения с осью абсцисс: $(-3, 0)$, $(0, 0)$, $(3, 0)$; точка пересечения с осью ординат: $(0, 0)$.

2) Для функции $y = 12 - 6x$.

Найдём точку пересечения с осью абсцисс (Ox). Для этого приравняем $y$ к нулю:
$12 - 6x = 0$
$6x = 12$
$x = 2$
Координаты точки пересечения с осью Ox: $(2, 0)$.

Найдём точку пересечения с осью ординат (Oy). Для этого подставим $x = 0$ в уравнение функции:
$y = 12 - 6 \cdot 0 = 12$
Координаты точки пересечения с осью Oy: $(0, 12)$.

Ответ: точка пересечения с осью абсцисс: $(2, 0)$; точка пересечения с осью ординат: $(0, 12)$.

3) Для функции $y = (x + 3)(x - 1)(x - 5)$.

Найдём точки пересечения с осью абсцисс (Ox), приравняв $y$ к нулю:
$(x + 3)(x - 1)(x - 5) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда получаем три корня:
$x + 3 = 0 \implies x_1 = -3$
$x - 1 = 0 \implies x_2 = 1$
$x - 5 = 0 \implies x_3 = 5$
Координаты точек пересечения с осью Ox: $(-3, 0)$, $(1, 0)$, $(5, 0)$.

Найдём точку пересечения с осью ординат (Oy), подставив $x = 0$:
$y = (0 + 3)(0 - 1)(0 - 5) = 3 \cdot (-1) \cdot (-5) = 15$
Координаты точки пересечения с осью Oy: $(0, 15)$.

Ответ: точки пересечения с осью абсцисс: $(-3, 0)$, $(1, 0)$, $(5, 0)$; точка пересечения с осью ординат: $(0, 15)$.