Номер 10, страница 17 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Параграф 22. График функции. Глава 3. Функции. Рабочая тетрадь 2 - номер 10, страница 17.

Условие.

10. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения с осями координат графика функции:

1) $y = 27x - 3x^3$;

2) $y = 12 - 6x$;

3) $y = (x + 3)(x - 1)(x - 5).$

Решение.

1) Точка принадлежит оси абсцисс тогда и только тогда, когда её

равна . Поэтому для нахождения координат точки пересечения графика функции с осью абсцисс надо решить уравнение. Имеем:

Следовательно, график данной функции имеет с осью абсцисс общие точки с координатами

Точка принадлежит оси ординат тогда и только тогда, когда её

равна . Поэтому для нахождения координат точки пересечения графика функции с осью ординат надо найти значение данной функции при x = . Имеем: y =

Следовательно, график функции пересекает ось ординат в точке

с координатами

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Для функции $y = 27x - 3x^3$.

Чтобы найти координаты точек пересечения графика с осью абсцисс (осью Ox), необходимо приравнять ординату $y$ к нулю и решить полученное уравнение:
$27x - 3x^3 = 0$
Вынесем общий множитель $3x$ за скобки:
$3x(9 - x^2) = 0$
Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ для выражения в скобках:
$3x(3 - x)(3 + x) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
$3x = 0 \implies x_1 = 0$
$3 - x = 0 \implies x_2 = 3$
$3 + x = 0 \implies x_3 = -3$
Следовательно, график функции пересекает ось абсцисс в точках с координатами $(-3, 0)$, $(0, 0)$ и $(3, 0)$.

Чтобы найти координаты точки пересечения графика с осью ординат (осью Oy), необходимо подставить значение абсциссы $x = 0$ в уравнение функции:
$y = 27 \cdot 0 - 3 \cdot 0^3 = 0$
Следовательно, график функции пересекает ось ординат в точке с координатами $(0, 0)$.

Ответ: точки пересечения с осью абсцисс: $(-3, 0)$, $(0, 0)$, $(3, 0)$; точка пересечения с осью ординат: $(0, 0)$.

2) Для функции $y = 12 - 6x$.

Найдём точку пересечения с осью абсцисс (Ox). Для этого приравняем $y$ к нулю:
$12 - 6x = 0$
$6x = 12$
$x = 2$
Координаты точки пересечения с осью Ox: $(2, 0)$.

Найдём точку пересечения с осью ординат (Oy). Для этого подставим $x = 0$ в уравнение функции:
$y = 12 - 6 \cdot 0 = 12$
Координаты точки пересечения с осью Oy: $(0, 12)$.

Ответ: точка пересечения с осью абсцисс: $(2, 0)$; точка пересечения с осью ординат: $(0, 12)$.

3) Для функции $y = (x + 3)(x - 1)(x - 5)$.

Найдём точки пересечения с осью абсцисс (Ox), приравняв $y$ к нулю:
$(x + 3)(x - 1)(x - 5) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда получаем три корня:
$x + 3 = 0 \implies x_1 = -3$
$x - 1 = 0 \implies x_2 = 1$
$x - 5 = 0 \implies x_3 = 5$
Координаты точек пересечения с осью Ox: $(-3, 0)$, $(1, 0)$, $(5, 0)$.

Найдём точку пересечения с осью ординат (Oy), подставив $x = 0$:
$y = (0 + 3)(0 - 1)(0 - 5) = 3 \cdot (-1) \cdot (-5) = 15$
Координаты точки пересечения с осью Oy: $(0, 15)$.

Ответ: точки пересечения с осью абсцисс: $(-3, 0)$, $(1, 0)$, $(5, 0)$; точка пересечения с осью ординат: $(0, 15)$.