Страница 14 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Мерзляк, Полонский

11. Найдите все целые значения $m$, при которых корень уравнения $(m - 2)x = 9$ является целым числом.

Решение.

Если $m = 2$, то данное уравнение принимает вид $0x = 9$. В этом

случае данное уравнение

Если $m \ne 2$, то данное уравнение имеет единственный корень, равный

Этот корень будет целым числом, если

Дано уравнение $(m - 2)x = 9$. Требуется найти все целые значения $m$, при которых корень $x$ является целым числом.

Сначала рассмотрим случай, когда коэффициент при $x$ равен нулю. Это происходит при $m - 2 = 0$, то есть при $m = 2$. В этом случае уравнение принимает вид $0 \cdot x = 9$, или $0 = 9$, что является неверным равенством. Следовательно, при $m = 2$ уравнение не имеет корней.

Теперь рассмотрим случай, когда $m - 2 \neq 0$, то есть $m \neq 2$. В этом случае уравнение имеет единственный корень, который мы находим, разделив обе части на $(m - 2)$: $x = \frac{9}{m - 2}$.

По условию задачи, корень $x$ должен быть целым числом. Поскольку $m$ является целым числом, то и $(m-2)$ является целым числом. Для того чтобы дробь $\frac{9}{m - 2}$ была равна целому числу, необходимо, чтобы ее знаменатель $(m-2)$ был целым делителем числителя 9.

Целыми делителями числа 9 являются числа: $-9, -3, -1, 1, 3, 9$.

Приравняем выражение $(m-2)$ к каждому из этих делителей, чтобы найти соответствующие значения $m$:

• Если $m - 2 = -9$, то $m = -9 + 2 = -7$.
• Если $m - 2 = -3$, то $m = -3 + 2 = -1$.
• Если $m - 2 = -1$, то $m = -1 + 2 = 1$.
• Если $m - 2 = 1$, то $m = 1 + 2 = 3$.
• Если $m - 2 = 3$, то $m = 3 + 2 = 5$.
• Если $m - 2 = 9$, то $m = 9 + 2 = 11$.

Таким образом, мы нашли все целые значения $m$, при которых корень уравнения является целым. Все найденные значения удовлетворяют условию $m \neq 2$.

Ответ: $-7, -1, 1, 3, 5, 11$.

12. Найдите, при каких значениях a уравнение $(3 - |a - 2|)x = a + 1$:

1) не имеет корней;

2) имеет бесконечно много корней.

Решение.

Найдём, при каких значениях а выполняется равенство

$3 - |a - 2| = 0.$

Данное уравнение является линейным относительно переменной $x$ и имеет вид $Bx = C$, где коэффициент при $x$ равен $B = 3 - |a - 2|$, а свободный член равен $C = a + 1$.

Количество корней такого уравнения зависит от значений коэффициентов $B$ и $C$.

• Если $B \neq 0$, уравнение имеет единственный корень $x = \frac{C}{B}$.
• Если $B = 0$ и $C \neq 0$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = C$ (где $C \neq 0$), что неверно ни при каком $x$. В этом случае уравнение не имеет корней.
• Если $B = 0$ и $C = 0$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = 0$, что является верным равенством для любого значения $x$. В этом случае уравнение имеет бесконечно много корней.

Для решения задачи найдём, при каких значениях параметра $a$ коэффициент при $x$ обращается в ноль. Это ключевое условие для обоих пунктов вопроса.

$3 - |a - 2| = 0$

$|a - 2| = 3$

Это уравнение с модулем равносильно совокупности двух уравнений:

$a - 2 = 3$ или $a - 2 = -3$

Решая их, получаем:

$a = 5$ или $a = -1$

Таким образом, коэффициент при $x$ равен нулю при $a = 5$ и $a = -1$. Теперь проанализируем каждый из этих случаев.

1) не имеет корней

Уравнение не имеет корней, если коэффициент при $x$ равен нулю, а правая часть (свободный член) не равна нулю. То есть, должны одновременно выполняться условия:

$\begin{cases} 3 - |a - 2| = 0 \\ a + 1 \neq 0 \end{cases}$

Из первого уравнения системы мы уже нашли, что $a = 5$ или $a = -1$. Теперь нужно проверить, для какого из этих значений выполняется второе условие $a + 1 \neq 0$.

• При $a = 5$: правая часть уравнения $C = a + 1 = 5 + 1 = 6$. Так как $6 \neq 0$, это значение $a$ удовлетворяет условиям. При $a=5$ уравнение принимает вид $0 \cdot x = 6$, что не имеет решений.
• При $a = -1$: правая часть уравнения $C = a + 1 = -1 + 1 = 0$. Это значение $a$ не удовлетворяет условию $a + 1 \neq 0$.

Следовательно, уравнение не имеет корней только при $a = 5$.

Ответ: $a=5$.

2) имеет бесконечно много корней

Уравнение имеет бесконечно много корней, если и коэффициент при $x$, и правая часть равны нулю. То есть, должны одновременно выполняться условия:

$\begin{cases} 3 - |a - 2| = 0 \\ a + 1 = 0 \end{cases}$

Решением первого уравнения, как мы выяснили, являются $a = 5$ и $a = -1$.

Решением второго уравнения $a + 1 = 0$ является $a = -1$.

Для того чтобы система имела решение, нужно найти значение $a$, которое является решением обоих уравнений. Таким значением является $a = -1$.

При $a = -1$ уравнение принимает вид $(3 - |-1 - 2|)x = -1 + 1$, что упрощается до $(3 - 3)x = 0$, то есть $0 \cdot x = 0$. Это равенство верно для любого действительного числа $x$.

Следовательно, уравнение имеет бесконечно много корней только при $a = -1$.

Ответ: $a=-1$.

3. На рисунке изображён график функции $y = g(x)$. Заполните пропуски.

1) Область определения функции: все $x$ такие, что

2) Область значений функции: все $y$ такие, что

3) График функции пересекает ось абсцисс в точках с координатами

4) График функции пересекает ось ординат в точке с координатами

5) Значения аргумента, при которых функция принимает отрицательные значения:

6) Значения аргумента, при которых функция принимает положительные значения:

1) Область определения функции: все x такие, что

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, для которых функция задана. Анализируя представленный график, мы видим, что он построен для значений $x$ в диапазоне от -8 до 8. В крайних точках $x=-8$ и $x=8$ график существует, поэтому эти значения включаются в область определения.

Ответ: $x \in [-8; 8]$.

2) Область значений функции: все y такие, что

Область значений функции — это множество всех значений $y$, которые принимает функция. На графике видно, что самое низкое положение кривой соответствует ординате $y=-4$ (в точках $x=-4$ и $x=4$), а самое высокое — ординате $y=4$ (в точках $x=-8, x=0, x=8$). Функция непрерывна и принимает все значения между этими двумя крайними точками.

Ответ: $y \in [-4; 4]$.

3) График функции пересекает ось абсцисс в точках с координатами

Точки пересечения с осью абсцисс (осью $Ox$) — это точки, в которых $y=0$. Их также называют нулями функции. На графике мы находим четыре такие точки, абсциссы которых равны -6, -2, 2 и 6. Координаты этих точек записываются в виде $(x; 0)$.

Ответ: $(-6; 0), (-2; 0), (2; 0), (6; 0)$.

4) График функции пересекает ось ординат в точке с координатами

Точка пересечения с осью ординат (осью $Oy$) — это точка, в которой $x=0$. На графике находим точку, где кривая пересекает вертикальную ось. Это происходит при значении $y=4$. Координаты этой точки $(0; 4)$.

Ответ: $(0; 4)$.

5) Значения аргумента, при которых функция принимает отрицательные значения:

Функция принимает отрицательные значения ($g(x) < 0$), когда ее график находится ниже оси $Ox$. Это происходит на двух интервалах: между $x=-6$ и $x=-2$, а также между $x=2$ и $x=6$. В точках $x=-6, -2, 2, 6$ функция равна нулю, поэтому эти точки не входят в искомые промежутки.

Ответ: $x \in (-6; -2) \cup (2; 6)$.

6) Значения аргумента, при которых функция принимает положительные значения:

Функция принимает положительные значения ($g(x) > 0$), когда ее график находится выше оси $Ox$. Это происходит на трех промежутках. Первый — от $x=-8$ (где $y=4$) до $x=-6$ (где $y=0$), что дает промежуток $[-8; -6)$. Второй — от $x=-2$ (где $y=0$) до $x=2$ (где $y=0$), что дает интервал $(-2; 2)$. Третий — от $x=6$ (где $y=0$) до $x=8$ (где $y=4$), что дает промежуток $(6; 8]$. Объединяем эти промежутки.

Ответ: $x \in [-8; -6) \cup (-2; 2) \cup (6; 8]$.

4. Принадлежит ли графику функции $y = -2x^2 - 1$ точка: 1) $A\left(\frac{1}{2}; -1,5\right)$; 2) $B (-3; 17)$?

Решение.

1) При $x = \frac{1}{2}$ имеем: $y =$

Следовательно, точка A графику данной функции.

2) При $x = -3$ имеем: $y =$

Следовательно, точка B графику данной функции.

Чтобы определить, принадлежит ли точка графику функции, нужно подставить координаты этой точки в уравнение функции. Если в результате подстановки получается верное числовое равенство, то точка принадлежит графику. Если равенство неверное, то точка не принадлежит графику.

Дана функция $y = -2x^2 - 1$.

1) Проверим, принадлежит ли графику функции точка $A(\frac{1}{2}; -1,5)$.

Подставим абсциссу точки $A$, $x = \frac{1}{2}$, в уравнение функции и найдем соответствующее значение $y$:

$y = -2 \cdot (\frac{1}{2})^2 - 1 = -2 \cdot \frac{1}{4} - 1 = -\frac{2}{4} - 1 = -\frac{1}{2} - 1 = -0,5 - 1 = -1,5$.

Полученное значение $y = -1,5$ совпадает с ординатой точки $A$. Следовательно, точка $A$ принадлежит графику функции.

Ответ: принадлежит.

2) Проверим, принадлежит ли графику функции точка $B(-3; 17)$.

Подставим абсциссу точки $B$, $x = -3$, в уравнение функции и найдем соответствующее значение $y$:

$y = -2 \cdot (-3)^2 - 1 = -2 \cdot 9 - 1 = -18 - 1 = -19$.

Полученное значение $y = -19$ не совпадает с ординатой точки $B$ ($17 \neq -19$). Следовательно, точка $B$ не принадлежит графику функции.

Ответ: не принадлежит.