Страница 7 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Мерзляк, Полонский

9. Запишите в виде выражения:

1) удвоенное произведение куба числа a и квадрата числа b: $2a^3b^2$

2) разность квадрата натурального числа n и произведение предыдущего ему и следующего за ним чисел: $n^2 - (n-1)(n+1)$

3) число, в котором a десятков тысяч, b сотен и c единиц: $10000a + 100b + c$

4) количество миллиметров в x метрах, y дециметрах, z сантиметрах: $1000x + 100y + 10z$

5) количество квадратных метров в a гектарах и b арах: $10000a + 100b$

6) количество дней в m невисокосных годах и n неделях: $365m + 7n$

1) удвоенное произведение куба числа a и квадрата числа b: Чтобы составить выражение, разобьем задачу на части. Куб числа $a$ записывается как $a^3$. Квадрат числа $b$ записывается как $b^2$. Их произведение равно $a^3 \cdot b^2$. "Удвоенное" означает, что это произведение нужно умножить на 2. Таким образом, итоговое выражение имеет вид $2 \cdot a^3 b^2$.
Ответ: $2a^3b^2$

2) разность квадрата натурального числа n и произведение предыдущего ему и следующего за ним чисел: Квадрат натурального числа $n$ — это $n^2$. Число, предыдущее $n$, равно $n-1$. Число, следующее за $n$, равно $n+1$. Произведение этих двух чисел равно $(n-1)(n+1)$. Разность квадрата числа $n$ и этого произведения записывается как $n^2 - (n-1)(n+1)$. Это выражение можно также упростить, используя формулу разности квадратов: $(n-1)(n+1) = n^2 - 1^2 = n^2 - 1$. Тогда всё выражение становится $n^2 - (n^2 - 1) = n^2 - n^2 + 1 = 1$. Однако, в задаче просят записать выражение, точно следуя описанию.
Ответ: $n^2 - (n-1)(n+1)$

3) число, в котором a десятков тысяч, b сотен и c единиц: Это число можно представить в виде суммы разрядных слагаемых. $a$ десятков тысяч — это $a \cdot 10000$. $b$ сотен — это $b \cdot 100$. $c$ единиц — это $c \cdot 1$. Складывая эти слагаемые, получаем число.
Ответ: $10000a + 100b + c$

4) количество миллиметров в x метрах, y дециметрах, z сантиметрах: Для нахождения общего количества миллиметров необходимо перевести все единицы измерения в миллиметры и сложить их. В 1 метре 1000 миллиметров, поэтому в $x$ метрах — $1000x$ мм. В 1 дециметре 100 миллиметров, поэтому в $y$ дециметрах — $100y$ мм. В 1 сантиметре 10 миллиметров, поэтому в $z$ сантиметрах — $10z$ мм. Суммируя все значения, получаем общее количество миллиметров.
Ответ: $1000x + 100y + 10z$

5) количество квадратных метров в a гектарах и b арах: Для нахождения общей площади в квадратных метрах необходимо перевести все единицы площади в квадратные метры и сложить их. В 1 гектаре (га) содержится 10 000 квадратных метров ($м^2$), следовательно, в $a$ гектарах — $10000a$ $м^2$. В 1 аре (а) содержится 100 квадратных метров ($м^2$), следовательно, в $b$ арах — $100b$ $м^2$. Общая площадь равна сумме этих величин.
Ответ: $10000a + 100b$

6) количество дней в m невисокосных годах и n неделях: Чтобы найти общее количество дней, нужно выразить все временные интервалы в днях и сложить. В невисокосном году 365 дней, значит в $m$ таких годах — $365m$ дней. В одной неделе 7 дней, значит в $n$ неделях — $7n$ дней. Общее количество дней равно их сумме.
Ответ: $365m + 7n$

10. Составьте выражение для вычисления длины синей линии.

1) $2a + 2b$

2) $2a + 4b$

3) $2a + 2c + 2\pi b$

1)

Чтобы найти длину синей линии, необходимо сложить длины всех отрезков, из которых она состоит. В данной фигуре есть два отрезка длиной $a$ и два отрезка длиной $b$.

Выражение для вычисления общей длины $L$ будет суммой длин этих отрезков: $L = a + a + b + b$

После приведения подобных слагаемых получаем упрощенное выражение: $L = 2a + 2b$
Это выражение также можно записать, вынеся общий множитель за скобки: $L = 2(a + b)$.

Ответ: $2a + 2b$

2)

Длина синей линии на втором рисунке также является суммой длин составляющих ее отрезков. Фигура состоит из двух вертикальных отрезков длиной $a$ и четырех наклонных отрезков длиной $b$.

Сложим длины всех отрезков, чтобы найти общую длину $L$: $L = a + b + b + a + b + b$

Сгруппируем и сложим одинаковые слагаемые: $L = (a + a) + (b + b + b + b) = 2a + 4b$

Ответ: $2a + 4b$

3)

В этом случае синяя линия состоит как из прямых отрезков, так и из криволинейных участков (дуг).

Суммарная длина прямых участков складывается из двух отрезков длиной $a$ и двух отрезков длиной $c$: $L_{прям} = a + a + c + c = 2a + 2c$

Криволинейные участки представляют собой четыре одинаковые дуги в углах фигуры. Каждая дуга является четвертью окружности (сектором в 90 градусов). Из рисунка видно, что радиус этой окружности равен $b$.

Длина полной окружности с радиусом $r$ вычисляется по формуле $C = 2\pi r$. Длина четверти окружности с радиусом $b$ будет равна: $L_{дуги} = \frac{1}{4} \cdot 2\pi b = \frac{\pi b}{2}$

Поскольку в фигуре четыре такие дуги, их общая длина равна: $L_{крив} = 4 \cdot \frac{\pi b}{2} = 2\pi b$

Общая длина всей синей линии $L$ — это сумма длин прямых и криволинейных участков: $L = L_{прям} + L_{крив} = (2a + 2c) + 2\pi b = 2a + 2c + 2\pi b$
Также можно вынести общий множитель 2 за скобки: $L = 2(a + c + \pi b)$.

Ответ: $2a + 2c + 2\pi b$

11. Составьте выражение для вычисления площади закрашенной фигуры.

1) $ab - cd$

2) $pn - (p - 2m)t$

3) $3ab - (2c^2 + \frac{\pi b^2}{8})$

1)

Площадь закрашенной фигуры можно найти, вычтя площадь внутреннего незакрашенного прямоугольника из площади внешнего большого прямоугольника.

Площадь внешнего прямоугольника со сторонами $a$ и $b$ вычисляется по формуле:
$S_{внеш} = a \cdot b$

Площадь внутреннего прямоугольника со сторонами $c$ и $d$ вычисляется по формуле:
$S_{внутр} = c \cdot d$

Площадь закрашенной фигуры $S$ является разностью этих двух площадей:
$S = S_{внеш} - S_{внутр} = ab - cd$

Ответ: $S = ab - cd$

2)

Площадь данной фигуры можно вычислить, если представить её как большой прямоугольник, из которого снизу вырезали меньший прямоугольник.

Сначала определим площадь воображаемого большого прямоугольника. Его ширина равна $p$, а высота — $n$. Его площадь:
$S_{большой} = p \cdot n$

Далее найдем площадь вырезанного (незакрашенного) прямоугольника. Его высота равна $t$. Его ширина равна общей ширине $p$ за вычетом ширины двух боковых частей, каждая из которых равна $m$. Таким образом, ширина выреза составляет $p - m - m = p - 2m$.
Площадь вырезанного прямоугольника:
$S_{вырез} = (p - 2m) \cdot t$

Площадь закрашенной фигуры $S$ — это разность площади большого прямоугольника и площади вырезанной части:
$S = S_{большой} - S_{вырез} = pn - (p - 2m)t$

Ответ: $S = pn - (p - 2m)t$

3)

Чтобы найти площадь закрашенной фигуры, необходимо из площади большого прямоугольника вычесть площади двух вырезанных квадратов и площадь вырезанного полукруга.

Площадь большого прямоугольника. Его высота равна $a$. Его ширина состоит из трех отрезков длиной $b$, следовательно, общая ширина равна $b+b+b=3b$.
$S_{прямоуг} = a \cdot (3b) = 3ab$

Площадь двух вырезанных квадратов. Сторона каждого квадрата равна $c$. Площадь одного квадрата — $c^2$. Суммарная площадь двух квадратов:
$S_{квадраты} = 2 \cdot c^2 = 2c^2$

Площадь вырезанного полукруга. Его диаметр равен $b$, значит, радиус $r = \frac{b}{2}$. Площадь круга с таким радиусом равна $\pi r^2$. Площадь полукруга составляет половину от площади круга:
$S_{полукруг} = \frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \pi \left(\frac{b}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} \pi \frac{b^2}{4} = \frac{\pi b^2}{8}$

Искомая площадь закрашенной фигуры $S$ — это площадь большого прямоугольника за вычетом площадей всех вырезанных фигур:
$S = S_{прямоуг} - S_{квадраты} - S_{полукруг} = 3ab - 2c^2 - \frac{\pi b^2}{8}$

Ответ: $S = 3ab - 2c^2 - \frac{\pi b^2}{8}$

12. Значения переменных $a$ и $b$ таковы, что $a - b = 4$, $c = -3$. Найдите значение выражения:

1) $4a - 4b - 5c$;

2) $6ac - 6bc$.

1) $4a - 4b - 5c = 4(a - b) - 5c = $

1) Чтобы найти значение выражения $4a - 4b - 5c$, необходимо сначала упростить его, вынеся общий множитель у первых двух членов. Общим множителем для $4a$ и $-4b$ является $4$.
$4a - 4b - 5c = 4(a - b) - 5c$
Из условия задачи нам известно, что разность $a - b = 4$, а значение $c = -3$. Подставим эти значения в преобразованное выражение:
$4 \cdot (a - b) - 5 \cdot c = 4 \cdot 4 - 5 \cdot (-3) = 16 + 15 = 31$.
Ответ: 31

2) Чтобы найти значение выражения $6ac - 6bc$, также вынесем общий множитель за скобки. Общим множителем для $6ac$ и $-6bc$ является $6c$.
$6ac - 6bc = 6c(a - b)$
Теперь подставим известные из условия значения $c = -3$ и $a - b = 4$ в полученное выражение:
$6c \cdot (a - b) = 6 \cdot (-3) \cdot 4 = -18 \cdot 4 = -72$.
Ответ: -72

10. Турист отправился в поход из пункта $A$ в пункт $B$. Сначала он шёл 1,5 ч со скоростью 4 км/ч, потом отдохнул 30 мин и, продолжив путь со скоростью 5 км/ч, через 2 ч после отдыха прибыл в пункт $B$. Постройте график движения туриста и заполните пропуски.

Путешествие заняло ______ ч, турист прошёл ______ км.

Параметры графика:

Ось расстояний: $s$, км

Значения на оси расстояний: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16

Ось времени: $t$, ч

Значения на оси времени: 0, 1, 2, 3, 4, 5

Для решения задачи разобьем весь путь туриста на три участка и рассчитаем для каждого время и пройденное расстояние.

1. Первый участок пути:
Турист шёл 1,5 часа со скоростью 4 км/ч. Расстояние, которое он прошёл на этом участке, рассчитывается по формуле $s = v \cdot t$.
$s_1 = 4 \text{ км/ч} \cdot 1,5 \text{ ч} = 6 \text{ км}$.
Таким образом, через 1,5 часа после начала похода турист находился на расстоянии 6 км от пункта А. На графике это соответствует точке с координатами (1.5, 6). График на этом участке — это отрезок прямой, соединяющий точки (0, 0) и (1.5, 6).

2. Отдых:
Турист отдыхал 30 минут. Переведем минуты в часы: $30 \text{ мин} = 0,5 \text{ ч}$.
Во время отдыха скорость туриста была равна 0, поэтому расстояние от пункта А не менялось. Отдых начался в момент времени 1,5 ч и закончился в $1,5 + 0,5 = 2$ ч.
На этом участке расстояние оставалось равным 6 км. На графике это горизонтальный отрезок, соединяющий точки (1.5, 6) и (2.0, 6).

3. Второй участок пути:
После отдыха турист шёл ещё 2 часа со скоростью 5 км/ч. Расстояние, которое он прошёл на этом участке, составляет:
$s_2 = 5 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 10 \text{ км}$.
Этот участок начался в момент времени 2 ч, когда турист был на расстоянии 6 км от пункта А. Путь закончился через 2 часа, то есть в момент времени $2 + 2 = 4$ ч.
К этому моменту общее пройденное расстояние составило $6 \text{ км} + 10 \text{ км} = 16 \text{ км}$.
Конечная точка маршрута (пункт В) имеет координаты (4.0, 16). График на этом участке — это отрезок прямой, соединяющий точки (2.0, 6) и (4.0, 16).

Ниже представлен график движения туриста, построенный по вычисленным точкам.

Ответ: График движения туриста представляет собой ломаную линию, последовательно соединяющую точки с координатами (0, 0), (1.5, 6), (2.0, 6) и (4.0, 16).

Для заполнения пропусков в предложении "Путешествие заняло ___ ч, турист прошёл ___ км." необходимо найти общее время и общее расстояние.

Общее время путешествия:
Складываем время всех трёх участков: $T_{общ} = 1,5 \text{ ч (путь)} + 0,5 \text{ ч (отдых)} + 2 \text{ ч (путь)} = 4 \text{ ч}$.

Общее пройденное расстояние:
Складываем расстояние, пройденное на первом и втором участках движения (во время отдыха расстояние не меняется): $S_{общ} = 6 \text{ км} + 10 \text{ км} = 16 \text{ км}$.

Заполняем пропуски: Путешествие заняло 4 ч, турист прошёл 16 км.

Ответ: Путешествие заняло 4 ч, турист прошёл 16 км.