Страница 3 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Мерзляк, Полонский

1. Заполните пропуски.

1) Если в выражении $4x - 1$ переменную $x$ заменить числом 3, то получим _____________ выражение _____________. При этом говорят, что число 3 – _____________ переменной $x$, а число 11 – _____________ $4x - 1$ при $x = 3$.

2) Числовые выражения и выражения с переменными называют _____________ выражениями.

3) Выражения, которые не содержат _____________, называют целыми выражениями.

1) Для того чтобы заполнить пропуски, необходимо выполнить подстановку в выражение и вспомнить основные математические определения.

Сначала подставим число 3 вместо переменной $x$ в выражение $4x - 1$ и вычислим его значение:
$4 \cdot 3 - 1 = 12 - 1 = 11$.

Когда мы заменяем переменную на число, исходное выражение с переменной ($4x - 1$) превращается в числовое выражение ($4 \cdot 3 - 1$), так как оно теперь состоит только из чисел и знаков операций.

Согласно принятой терминологии:

• Число, которое подставляют вместо переменной (в данном случае 3), называется значением переменной.
• Результат вычисления (в данном случае 11) называется значением выражения при заданном значении переменной.

Таким образом, полностью заполненное предложение выглядит так: "Если в выражении $4x - 1$ переменную $x$ заменить числом 3, то получим числовое выражение $4 \cdot 3 - 1$. При этом говорят, что число 3 – значение переменной $x$, а число 11 – значение выражения $4x - 1$ при $x = 3$."

Ответ: числовое, $4 \cdot 3 - 1$, значение, значение выражения.

2) В этом пункте требуется указать общий термин для двух видов математических выражений.

В математике выделяют:

• Числовые выражения – состоят только из чисел, знаков арифметических действий и скобок. Например, $(15 - 5) \cdot 2$.
• Выражения с переменными (или буквенные выражения) – содержат, помимо чисел и знаков, буквенные переменные. Например, $a^2 + 2ab$.

Общее название, которое объединяет оба этих вида, – это алгебраические выражения. Следовательно, заполненное предложение будет таким: "Числовые выражения и выражения с переменными называют алгебраическими выражениями."

Ответ: алгебраическими.

3) Этот пункт касается определения целых выражений.

Алгебраические выражения классифицируются на целые и дробные в зависимости от выполняемых в них операций.

Целыми выражениями называют выражения, которые составлены из чисел и переменных с помощью операций сложения, вычитания, умножения, а также деления на число, не равное нулю. Важнейшим признаком целого выражения является то, что оно не содержит деления на переменную или на выражение с переменной.

Примеры целых выражений: $7x + 13$, $y(y-2)$, $\frac{a+b}{5}$.

Выражения, которые содержат деление на переменную (например, $\frac{x+1}{x}$), называются дробными.

Таким образом, заполняем пропуск: "Выражения, которые не содержат деления на переменные, называют целыми выражениями."

Ответ: деления на переменные.

Решаем задачи

2. Вычислите значение числового выражения:

1) $(1\frac{1}{3} + 2\frac{2}{9}) \cdot \frac{3}{16} - 1\frac{2}{3} \cdot 3 = $

a) $1\frac{1}{3} + 2\frac{2}{9} = 1\frac{3}{9} + 2\frac{2}{9} = $

2) $1\frac{5}{7} : (-6) + (1\frac{16}{21} - 3\frac{4}{9}) : (-1\frac{11}{42}) = $

a) $1\frac{5}{7} : (-6) = \frac{12}{7} \cdot (-\frac{1}{6}) = $

3) $(-1\frac{1}{8} + \frac{27}{32}) : (3,05 - 2,84) - \frac{0,3}{1,4} = $

1) $\left(1\frac{1}{3} + 2\frac{2}{9}\right) \cdot \frac{3}{16} - 1\frac{2}{3} \cdot 3$

Решение по действиям:

1. Сначала выполним действие в скобках: сложение смешанных чисел. Для этого приведем дроби к общему знаменателю 9. $1\frac{1}{3} + 2\frac{2}{9} = 1\frac{1 \cdot 3}{3 \cdot 3} + 2\frac{2}{9} = 1\frac{3}{9} + 2\frac{2}{9} = (1+2) + (\frac{3}{9} + \frac{2}{9}) = 3\frac{5}{9}$

2. Теперь выполним умножение. Переведем смешанное число $3\frac{5}{9}$ в неправильную дробь и сократим. $3\frac{5}{9} \cdot \frac{3}{16} = \frac{3 \cdot 9 + 5}{9} \cdot \frac{3}{16} = \frac{32}{9} \cdot \frac{3}{16} = \frac{32 \cdot 3}{9 \cdot 16} = \frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 1} = \frac{2}{3}$

3. Выполним второе умножение. $1\frac{2}{3} \cdot 3 = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} \cdot 3 = \frac{5}{3} \cdot 3 = 5$

4. Выполним вычитание. $\frac{2}{3} - 5 = \frac{2}{3} - \frac{15}{3} = \frac{2-15}{3} = -\frac{13}{3} = -4\frac{1}{3}$

Ответ: $-4\frac{1}{3}$

a) $1\frac{1}{3} + 2\frac{2}{9} = 1\frac{3}{9} + 2\frac{2}{9} = 3\frac{5}{9}$

Чтобы сложить смешанные числа, приводим их дробные части к общему знаменателю. Общий знаменатель для 3 и 9 это 9. Дополнительный множитель для дроби $\frac{1}{3}$ равен 3. $1\frac{1}{3} = 1\frac{1 \cdot 3}{3 \cdot 3} = 1\frac{3}{9}$ Теперь складываем целые и дробные части: $1\frac{3}{9} + 2\frac{2}{9} = (1+2) + (\frac{3}{9} + \frac{2}{9}) = 3\frac{5}{9}$

Ответ: $3\frac{5}{9}$

2) $1\frac{5}{7} : (-6) + \left(1\frac{16}{21} - 3\frac{4}{9}\right) : \left(-1\frac{11}{42}\right)$

Решение по действиям:

1. Выполним первое деление. Переведем смешанное число в неправильную дробь и заменим деление умножением на обратное число. $1\frac{5}{7} : (-6) = \frac{1 \cdot 7 + 5}{7} : (-\frac{6}{1}) = \frac{12}{7} \cdot (-\frac{1}{6}) = -\frac{12}{7 \cdot 6} = -\frac{2}{7}$

2. Выполним вычитание в скобках. Переведем смешанные числа в неправильные дроби и приведем их к общему знаменателю 63. $1\frac{16}{21} - 3\frac{4}{9} = \frac{1 \cdot 21 + 16}{21} - \frac{3 \cdot 9 + 4}{9} = \frac{37}{21} - \frac{31}{9} = \frac{37 \cdot 3}{63} - \frac{31 \cdot 7}{63} = \frac{111 - 217}{63} = -\frac{106}{63}$

3. Выполним второе деление. Переведем делитель в неправильную дробь. $-1\frac{11}{42} = -\frac{1 \cdot 42 + 11}{42} = -\frac{53}{42}$ $(-\frac{106}{63}) : (-\frac{53}{42}) = \frac{106}{63} \cdot \frac{42}{53} = \frac{106 \cdot 42}{63 \cdot 53} = \frac{2 \cdot 53 \cdot 2 \cdot 21}{3 \cdot 21 \cdot 53} = \frac{4}{3}$

4. Выполним сложение. $-\frac{2}{7} + \frac{4}{3} = -\frac{2 \cdot 3}{21} + \frac{4 \cdot 7}{21} = \frac{-6+28}{21} = \frac{22}{21} = 1\frac{1}{21}$

Ответ: $1\frac{1}{21}$

a) $1\frac{5}{7} : (-6) = \frac{12}{7} \cdot \left(-\frac{1}{6}\right) = -\frac{2}{7}$

Для выполнения деления переводим смешанное число $1\frac{5}{7}$ в неправильную дробь: $1\frac{5}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 5}{7} = \frac{12}{7}$ Деление на -6 эквивалентно умножению на обратную дробь $-\frac{1}{6}$: $\frac{12}{7} \cdot \left(-\frac{1}{6}\right) = -\frac{12 \cdot 1}{7 \cdot 6}$ Сокращаем числитель и знаменатель на 6: $-\frac{12:6}{7 \cdot (6:6)} = -\frac{2}{7}$

Ответ: $-\frac{2}{7}$

3) $\left(-1\frac{1}{8} + \frac{27}{32}\right) : (3,05 - 2,84) - \frac{0,3}{1,4}$

Решение по действиям:

1. Выполним сложение в первых скобках. Переведем смешанное число в неправильную дробь и приведем дроби к общему знаменателю 32. $-1\frac{1}{8} + \frac{27}{32} = -\frac{1 \cdot 8 + 1}{8} + \frac{27}{32} = -\frac{9}{8} + \frac{27}{32} = -\frac{9 \cdot 4}{32} + \frac{27}{32} = \frac{-36+27}{32} = -\frac{9}{32}$

2. Выполним вычитание во вторых скобках. $3,05 - 2,84 = 0,21$

3. Выполним деление. Переведем десятичную дробь $0,21$ в обыкновенную. $0,21 = \frac{21}{100}$ $-\frac{9}{32} : \frac{21}{100} = -\frac{9}{32} \cdot \frac{100}{21} = -\frac{9 \cdot 100}{32 \cdot 21} = -\frac{3 \cdot 3 \cdot 25 \cdot 4}{8 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 7} = -\frac{3 \cdot 25}{8 \cdot 7} = -\frac{75}{56}$

4. Упростим последнюю дробь. Умножим числитель и знаменатель на 10, чтобы избавиться от десятичных знаков. $\frac{0,3}{1,4} = \frac{0,3 \cdot 10}{1,4 \cdot 10} = \frac{3}{14}$

5. Выполним конечное вычитание. Приведем дроби к общему знаменателю 56 ($14 \cdot 4 = 56$). $-\frac{75}{56} - \frac{3}{14} = -\frac{75}{56} - \frac{3 \cdot 4}{14 \cdot 4} = -\frac{75}{56} - \frac{12}{56} = \frac{-75-12}{56} = -\frac{87}{56} = -1\frac{31}{56}$

Ответ: $-1\frac{31}{56}$

1. Заполните пропуски.

1) Функцией называют ___________ , с помощью которого ___________ можно найти ___________.

2) Если переменная $y$ функционально зависит от переменной $x$, то этот факт обозначают так: ___________ (читают: « ___________ »).

3) Независимую переменную называют ___________ функции.

4) Все значения, которые принимает аргумент, образуют ___________ функции.

5) Значение зависимой переменной называют ___________.

6) Все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют ___________ функции.

1) Функцией называют правило, с помощью которого по каждому значению независимой переменной можно найти единственное значение зависимой переменной.
Ответ: правило, по каждому значению независимой переменной, единственное значение зависимой переменной.

2) Если переменная y функционально зависит от переменной x, то этот факт обозначают так: $y = f(x)$ (читают: «игрек равен эф от икс»).
Ответ: $y = f(x)$, игрек равен эф от икс.

3) Независимую переменную называют аргументом функции.
Ответ: аргументом.

4) Все значения, которые принимает аргумент, образуют область определения функции.
Ответ: область определения.

5) Значение зависимой переменной называют значением функции.
Ответ: значением функции.

6) Все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют область значений функции.
Ответ: область значений.

2. На рисунке изображён график изменения температуры воздуха на протяжении суток.

Заполните пропуски.

1) Температура воздуха в 3 ч была ______ $^\circ C$, в 17 ч — ______ $^\circ C$, в 24 ч — ______ $^\circ C$.

2) Температура воздуха была равна 1 $^\circ C$ в ______ ; равна 2 $^\circ C$ в ______ .

3) Самая низкая температура ______ $^\circ C$ была в ______ ч.

4) Самая высокая температура ______ $^\circ C$ была в ______ ч.

5) Нулевой температура была в ______ .

6) Температура воздуха была ниже 0 $^\circ C$ с ______ ч до ______ ч и с ______ ч до ______ ч, а выше 0 $^\circ C$ с ______ ч до ______ ч.

7) Температура повышалась с ______ ч до ______ ч, а понижалась с ______ ч до ______ ч.

1) Температура воздуха в 3 ч была ___ °C, в 17 ч — ___ °C, в 24 ч — ___ °C.

Для определения температуры в заданное время находим это время на горизонтальной оси (оси времени), проводим вертикальную линию до пересечения с графиком, а затем от точки пересечения проводим горизонтальную линию до вертикальной оси (оси температуры) и считываем значение.

• В 3 ч: На оси времени находим 3 ч (середина между 2 ч и 4 ч). Температура в 2 ч равна $2$ °C, а в 4 ч — $1$ °C. На этом участке график выглядит как прямая линия, поэтому в 3 ч температура будет средним значением, то есть $(2+1)/2 = 1,5$ °C.
• В 17 ч: На оси времени находим 17 ч (середина между 16 ч и 18 ч). Температура в 16 ч равна $-2$ °C, а в 18 ч — $-1$ °C. Аналогично, температура в 17 ч будет равна $(-2 + (-1))/2 = -1,5$ °C.
• В 24 ч: Находим на оси времени 24 ч. График в этой точке соответствует температуре $1$ °C.

Ответ: Температура воздуха в 3 ч была $1,5$ °C, в 17 ч — $-1,5$ °C, в 24 ч — $1$ °C.

2) Температура воздуха была равна 1 °C в _________ ; равна 2 °C в _________

Для нахождения времени, когда температура достигала определенного значения, проводим горизонтальную линию на уровне этого значения температуры и находим точки пересечения этой линии с графиком.

• Равна $1$ °C: Проводим горизонтальную линию на уровне $1$ °C. Линия пересекает график в моменты времени 4 ч и 24 ч.
• Равна $2$ °C: Проводим горизонтальную линию на уровне $2$ °C. Линия пересекает график в моменты времени 2 ч, 20 ч и 22 ч.

Ответ: Температура воздуха была равна $1$ °C в 4 ч и 24 ч; равна $2$ °C в 2 ч, 20 ч и 22 ч.

3) Самая низкая температура ___ °C была в ___ ч.

Самая низкая температура соответствует самой низкой точке (минимуму) на графике. Визуально находим эту точку. Она расположена между 12 ч и 14 ч, ровно посередине, то есть в 13 ч. Значение температуры в этой точке немного ниже отметки $-3$ °C. По сетке можно оценить его как $-3,2$ °C. Ответ: Самая низкая температура $-3,2$ °C была в 13 ч.

4) Самая высокая температура ___ °C была в ___ ч.

Самая высокая температура соответствует самой высокой точке (максимуму) на графике за весь период. На графике есть две вершины: в самом начале в 0 ч и около 21 ч. В 0 ч температура составляет $3$ °C. Около 21 ч температура достигает примерно $2,5$ °C. Сравнивая эти значения, заключаем, что максимальная температура за сутки была в начале. Ответ: Самая высокая температура $3$ °C была в 0 ч.

5) Нулевой температура была в _________.

Нулевая температура была в моменты времени, когда график пересекал горизонтальную ось (ось времени, $T=0$ °C). Из графика видно, что это происходит в двух точках. Ответ: Нулевой температура была в 6 ч и 19 ч.

6) Температура воздуха была ниже 0 °C с ___ ч до ___ ч, а выше 0 °C с ___ ч до ___ ч и с ___ ч до ___ ч.

Анализируем положение графика относительно горизонтальной оси ($T=0$ °C).

• Ниже $0$ °C: График находится под осью времени на интервале между точками пересечения, то есть с 6 ч до 19 ч.
• Выше $0$ °C: График находится над осью времени в начале суток до первого пересечения (с 0 ч до 6 ч) и после второго пересечения до конца суток (с 19 ч до 24 ч).

Ответ: Температура воздуха была ниже $0$ °C с 6 ч до 19 ч, а выше $0$ °C с 0 ч до 6 ч и с 19 ч до 24 ч.

7) Температура повышалась с ___ ч до ___ ч, а понижалась с ___ ч до ___ ч и с ___ ч до ___ ч.

Анализируем интервалы возрастания и убывания функции, изображенной на графике.

• Повышалась: Температура росла, когда график шел вверх. Это происходит от точки минимума (в 13 ч) до точки локального максимума (в 21 ч).
• Понижалась: Температура падала, когда график шел вниз. Это происходит на двух интервалах: от начала суток (0 ч) до точки минимума (13 ч) и от точки локального максимума (21 ч) до конца суток (24 ч).

Ответ: Температура повышалась с 13 ч до 21 ч, а понижалась с 0 ч до 13 ч и с 21 ч до 24 ч.