Страница 110 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Мерзляк, Полонский

13. Найдите все натуральные значения n, при которых значение выражения $n^4 + 4$ является простым числом.

Решение.

Разложим многочлен $n^4 + 4$ на множители:

$n^4 + 4 = $

Решение.

Чтобы найти все натуральные значения $n$, при которых выражение $n^4 + 4$ является простым числом, разложим данный многочлен на множители. Для этого воспользуемся методом выделения полного квадрата, добавив и вычтя одно и то же слагаемое. Этот приём также известен как тождество Софи Жермен.

Добавим и вычтем $4n^2$:

$n^4 + 4 = n^4 + 4n^2 + 4 - 4n^2$

Сгруппируем первые три слагаемых, которые образуют полный квадрат $(n^2+2)^2$, а слагаемое $4n^2$ представим как $(2n)^2$. В результате получим разность квадратов:

$(n^4 + 4n^2 + 4) - 4n^2 = (n^2 + 2)^2 - (2n)^2$

Теперь применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$(n^2 + 2 - 2n)(n^2 + 2 + 2n)$

Таким образом, мы разложили исходное выражение на два множителя:

$n^4 + 4 = (n^2 - 2n + 2)(n^2 + 2n + 2)$

Простое число — это натуральное число, большее 1, которое делится только на 1 и на само себя. Чтобы произведение двух натуральных чисел было простым, один из множителей должен быть равен 1, а другой — самому этому простому числу.

Поскольку $n$ — натуральное число ($n \ge 1$), оба множителя $(n^2 - 2n + 2)$ и $(n^2 + 2n + 2)$ являются натуральными числами. Сравним их. Очевидно, что для любого натурального $n$ справедливо неравенство $n^2 - 2n + 2 < n^2 + 2n + 2$. Следовательно, чтобы произведение было простым, меньший множитель должен быть равен 1.

Приравняем меньший множитель к единице и решим полученное уравнение:

$n^2 - 2n + 2 = 1$

$n^2 - 2n + 1 = 0$

Это уравнение является полным квадратом разности:

$(n - 1)^2 = 0$

Единственное решение этого уравнения — $n = 1$.

Проверим это значение. При $n=1$ выражение $n^4 + 4$ принимает значение:

$1^4 + 4 = 1 + 4 = 5$

Число 5 является простым, следовательно, значение $n=1$ удовлетворяет условию задачи.

Если $n > 1$, то оба множителя будут строго больше 1:

• $n^2 - 2n + 2 = (n-1)^2 + 1$. Так как $n > 1$, то $n-1 \ge 1$, и $(n-1)^2 + 1 \ge 1^2+1=2$.
• $n^2 + 2n + 2$. Так как $n > 1$, то $n^2 + 2n + 2 > 1^2+2(1)+2 = 5$.

Поскольку при $n > 1$ оба множителя являются целыми числами больше 1, их произведение будет составным числом.

Таким образом, единственное натуральное значение $n$, при котором выражение является простым, — это $n=1$.

Ответ: $1$.