Страница 107 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Мерзляк, Полонский

7. Разложите на множители трёхчлен, выделив предварительно квадрат двучлена:

1) $x^2 + 5x - 6 = x^2 + 2 \cdot 2,5x - 6 = x^2 + 2 \cdot 2,5x + 2,5^2 - 2,5^2 - 6 = (x + 2,5)^2 - 6,25 - 6 = $

2) $a^2 - 10a + 16 = $

3) $y^2 + y - 2 = $

4) $4b^2 - 11b - 3 = $

1) Чтобы разложить на множители трёхчлен $x^2 + 5x - 6$, выделим полный квадрат. Для этого представим $5x$ как удвоенное произведение $2 \cdot x \cdot 2,5$. Затем добавим и вычтем квадрат второго члена, то есть $2,5^2$.
$x^2 + 5x - 6 = (x^2 + 2 \cdot x \cdot 2,5 + 2,5^2) - 2,5^2 - 6$
Свернём первые три слагаемых по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:
$(x + 2,5)^2 - 6,25 - 6 = (x + 2,5)^2 - 12,25$
Теперь применим формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = x+2,5$ и $b = \sqrt{12,25} = 3,5$:
$(x + 2,5)^2 - 3,5^2 = (x + 2,5 - 3,5)(x + 2,5 + 3,5) = (x - 1)(x + 6)$
Ответ: $(x-1)(x+6)$.

2) Разложим на множители трёхчлен $a^2 - 10a + 16$. Выделим полный квадрат. Представим $-10a$ как $-2 \cdot a \cdot 5$. Добавим и вычтем $5^2=25$.
$a^2 - 10a + 16 = (a^2 - 2 \cdot a \cdot 5 + 5^2) - 5^2 + 16$
Свернём по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$:
$(a - 5)^2 - 25 + 16 = (a - 5)^2 - 9$
Применим формулу разности квадратов, где $b=\sqrt{9}=3$:
$(a - 5)^2 - 3^2 = (a - 5 - 3)(a - 5 + 3) = (a - 8)(a - 2)$
Ответ: $(a-8)(a-2)$.

3) Разложим на множители трёхчлен $y^2 + y - 2$. Выделим полный квадрат. Представим $y$ как $2 \cdot y \cdot 0,5$. Добавим и вычтем $0,5^2=0,25$.
$y^2 + y - 2 = (y^2 + 2 \cdot y \cdot 0,5 + 0,5^2) - 0,5^2 - 2$
Свернём по формуле квадрата суммы:
$(y + 0,5)^2 - 0,25 - 2 = (y + 0,5)^2 - 2,25$
Применим формулу разности квадратов, где $b=\sqrt{2,25}=1,5$:
$(y + 0,5)^2 - 1,5^2 = (y + 0,5 - 1,5)(y + 0,5 + 1,5) = (y - 1)(y + 2)$
Ответ: $(y-1)(y+2)$.

4) Разложим на множители трёхчлен $4b^2 - 11b - 3$. Заметим, что $4b^2 = (2b)^2$. Выделим полный квадрат для выражения с $2b$.
$4b^2 - 11b - 3 = (2b)^2 - 2 \cdot (2b) \cdot \frac{11}{4} - 3$
Чтобы получить полный квадрат, добавим и вычтем $(\frac{11}{4})^2 = \frac{121}{16}$:
$( (2b)^2 - 2 \cdot (2b) \cdot \frac{11}{4} + (\frac{11}{4})^2 ) - (\frac{11}{4})^2 - 3 = (2b - \frac{11}{4})^2 - \frac{121}{16} - 3$
Приведём свободные члены к общему знаменателю:
$(2b - \frac{11}{4})^2 - \frac{121}{16} - \frac{48}{16} = (2b - \frac{11}{4})^2 - \frac{169}{16}$
Применим формулу разности квадратов, где $b=\sqrt{\frac{169}{16}}=\frac{13}{4}$:
$(2b - \frac{11}{4})^2 - (\frac{13}{4})^2 = (2b - \frac{11}{4} - \frac{13}{4})(2b - \frac{11}{4} + \frac{13}{4})$
Упростим выражения в скобках:
$(2b - \frac{24}{4})(2b + \frac{2}{4}) = (2b - 6)(2b + \frac{1}{2})$
Вынесем общий множитель 2 из первой скобки и умножим его на вторую скобку:
$2(b - 3)(2b + \frac{1}{2}) = (b - 3) \cdot 2(2b + \frac{1}{2}) = (b - 3)(4b + 1)$
Ответ: $(b-3)(4b+1)$.

8. Значения переменных $x$ и $y$ таковы, что выполняются равенства $x + y = 5$, $xy = -2$. Найдите значение выражения:

1) $x^4y^3 + x^3y^4$; 2) $x^2 + y^2$; 3) $(x - y)^2$; 4) $x^3 + y^3$.

1) $x^4y^3 + x^3y^4 = $ $(x + y) = $

Ответ:

2) $x^2 + y^2 = (x + y)^2 - $ $=$

Ответ:

3) $(x - y)^2 = $

Ответ:

4) $x^3 + y^3 = $

Ответ:

Дано: $x + y = 5$ и $xy = -2$.

1) $x⁴y³ + x³y⁴$

Чтобы найти значение этого выражения, вынесем за скобки общий множитель $x^3y^3$:
$x^4y^3 + x^3y^4 = x^3y^3(x + y)$
Мы можем переписать $x^3y^3$ как $(xy)^3$. Тогда выражение примет вид:
$(xy)^3(x + y)$
Теперь подставим данные из условия задачи: $x + y = 5$ и $xy = -2$.
$(-2)^3 \cdot 5 = -8 \cdot 5 = -40$
Ответ: -40

2) $x² + y²$

Чтобы найти $x^2 + y^2$, воспользуемся формулой квадрата суммы: $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
Выразим из этой формулы искомое $x^2 + y^2$:
$x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy$
Подставим известные значения $x + y = 5$ и $xy = -2$:
$5^2 - 2(-2) = 25 + 4 = 29$
Ответ: 29

3) $(x - y)²$

Для вычисления $(x - y)^2$ используем формулу квадрата разности: $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Сгруппируем члены: $(x - y)^2 = (x^2 + y^2) - 2xy$.
Из предыдущего пункта мы знаем, что $x^2 + y^2 = 29$. Подставим это значение и значение $xy = -2$:
$29 - 2(-2) = 29 + 4 = 33$
Также можно решить, выразив квадрат разности через квадрат суммы:
$(x - y)^2 = (x+y)^2 - 4xy = 5^2 - 4(-2) = 25 + 8 = 33$
Ответ: 33

4) $x³ + y³$

Для нахождения суммы кубов $x^3 + y^3$ используем формулу сокращенного умножения: $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$.
Мы уже знаем значения всех частей этого выражения: $x + y = 5$, $xy = -2$, и из пункта 2) мы нашли, что $x^2 + y^2 = 29$.
Подставим эти значения в формулу:
$x^3 + y^3 = (x + y)((x^2 + y^2) - xy) = 5 \cdot (29 - (-2)) = 5 \cdot (29 + 2) = 5 \cdot 31 = 155$
Другой способ — использовать тождество $x^3 + y^3 = (x + y)^3 - 3xy(x + y)$.
Подставив известные значения, получим: $5^3 - 3(-2)(5) = 125 - (-30) = 125 + 30 = 155$
Ответ: 155