Номер 7, страница 107 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Рабочая тетрадь 1. Глава 2. Целые выражения. Параграф 19. Применение различных способов разложения многочлена на множители - номер 7, страница 107.

Условие.

7. Разложите на множители трёхчлен, выделив предварительно квадрат двучлена:

1) $x^2 + 5x - 6 = x^2 + 2 \cdot 2,5x - 6 = x^2 + 2 \cdot 2,5x + 2,5^2 - 2,5^2 - 6 = (x + 2,5)^2 - 6,25 - 6 = $

2) $a^2 - 10a + 16 = $

3) $y^2 + y - 2 = $

4) $4b^2 - 11b - 3 = $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Чтобы разложить на множители трёхчлен $x^2 + 5x - 6$, выделим полный квадрат. Для этого представим $5x$ как удвоенное произведение $2 \cdot x \cdot 2,5$. Затем добавим и вычтем квадрат второго члена, то есть $2,5^2$.
$x^2 + 5x - 6 = (x^2 + 2 \cdot x \cdot 2,5 + 2,5^2) - 2,5^2 - 6$
Свернём первые три слагаемых по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:
$(x + 2,5)^2 - 6,25 - 6 = (x + 2,5)^2 - 12,25$
Теперь применим формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = x+2,5$ и $b = \sqrt{12,25} = 3,5$:
$(x + 2,5)^2 - 3,5^2 = (x + 2,5 - 3,5)(x + 2,5 + 3,5) = (x - 1)(x + 6)$
Ответ: $(x-1)(x+6)$.

2) Разложим на множители трёхчлен $a^2 - 10a + 16$. Выделим полный квадрат. Представим $-10a$ как $-2 \cdot a \cdot 5$. Добавим и вычтем $5^2=25$.
$a^2 - 10a + 16 = (a^2 - 2 \cdot a \cdot 5 + 5^2) - 5^2 + 16$
Свернём по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$:
$(a - 5)^2 - 25 + 16 = (a - 5)^2 - 9$
Применим формулу разности квадратов, где $b=\sqrt{9}=3$:
$(a - 5)^2 - 3^2 = (a - 5 - 3)(a - 5 + 3) = (a - 8)(a - 2)$
Ответ: $(a-8)(a-2)$.

3) Разложим на множители трёхчлен $y^2 + y - 2$. Выделим полный квадрат. Представим $y$ как $2 \cdot y \cdot 0,5$. Добавим и вычтем $0,5^2=0,25$.
$y^2 + y - 2 = (y^2 + 2 \cdot y \cdot 0,5 + 0,5^2) - 0,5^2 - 2$
Свернём по формуле квадрата суммы:
$(y + 0,5)^2 - 0,25 - 2 = (y + 0,5)^2 - 2,25$
Применим формулу разности квадратов, где $b=\sqrt{2,25}=1,5$:
$(y + 0,5)^2 - 1,5^2 = (y + 0,5 - 1,5)(y + 0,5 + 1,5) = (y - 1)(y + 2)$
Ответ: $(y-1)(y+2)$.

4) Разложим на множители трёхчлен $4b^2 - 11b - 3$. Заметим, что $4b^2 = (2b)^2$. Выделим полный квадрат для выражения с $2b$.
$4b^2 - 11b - 3 = (2b)^2 - 2 \cdot (2b) \cdot \frac{11}{4} - 3$
Чтобы получить полный квадрат, добавим и вычтем $(\frac{11}{4})^2 = \frac{121}{16}$:
$( (2b)^2 - 2 \cdot (2b) \cdot \frac{11}{4} + (\frac{11}{4})^2 ) - (\frac{11}{4})^2 - 3 = (2b - \frac{11}{4})^2 - \frac{121}{16} - 3$
Приведём свободные члены к общему знаменателю:
$(2b - \frac{11}{4})^2 - \frac{121}{16} - \frac{48}{16} = (2b - \frac{11}{4})^2 - \frac{169}{16}$
Применим формулу разности квадратов, где $b=\sqrt{\frac{169}{16}}=\frac{13}{4}$:
$(2b - \frac{11}{4})^2 - (\frac{13}{4})^2 = (2b - \frac{11}{4} - \frac{13}{4})(2b - \frac{11}{4} + \frac{13}{4})$
Упростим выражения в скобках:
$(2b - \frac{24}{4})(2b + \frac{2}{4}) = (2b - 6)(2b + \frac{1}{2})$
Вынесем общий множитель 2 из первой скобки и умножим его на вторую скобку:
$2(b - 3)(2b + \frac{1}{2}) = (b - 3) \cdot 2(2b + \frac{1}{2}) = (b - 3)(4b + 1)$
Ответ: $(b-3)(4b+1)$.