Номер 8, страница 107 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Параграф 19. Применение различных способов разложения многочлена на множители. Глава 2. Целые выражения. Рабочая тетрадь 1 - номер 8, страница 107.

Условие.

8. Значения переменных $x$ и $y$ таковы, что выполняются равенства $x + y = 5$, $xy = -2$. Найдите значение выражения:

1) $x^4y^3 + x^3y^4$; 2) $x^2 + y^2$; 3) $(x - y)^2$; 4) $x^3 + y^3$.

Решение.

1) $x^4y^3 + x^3y^4 = $ $(x + y) = $

Ответ:

2) $x^2 + y^2 = (x + y)^2 - $ $=$

Ответ:

3) $(x - y)^2 = $

Ответ:

4) $x^3 + y^3 = $

Ответ:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Дано: $x + y = 5$ и $xy = -2$.

1) $x⁴y³ + x³y⁴$

Чтобы найти значение этого выражения, вынесем за скобки общий множитель $x^3y^3$:
$x^4y^3 + x^3y^4 = x^3y^3(x + y)$
Мы можем переписать $x^3y^3$ как $(xy)^3$. Тогда выражение примет вид:
$(xy)^3(x + y)$
Теперь подставим данные из условия задачи: $x + y = 5$ и $xy = -2$.
$(-2)^3 \cdot 5 = -8 \cdot 5 = -40$
Ответ: -40

2) $x² + y²$

Чтобы найти $x^2 + y^2$, воспользуемся формулой квадрата суммы: $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
Выразим из этой формулы искомое $x^2 + y^2$:
$x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy$
Подставим известные значения $x + y = 5$ и $xy = -2$:
$5^2 - 2(-2) = 25 + 4 = 29$
Ответ: 29

3) $(x - y)²$

Для вычисления $(x - y)^2$ используем формулу квадрата разности: $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Сгруппируем члены: $(x - y)^2 = (x^2 + y^2) - 2xy$.
Из предыдущего пункта мы знаем, что $x^2 + y^2 = 29$. Подставим это значение и значение $xy = -2$:
$29 - 2(-2) = 29 + 4 = 33$
Также можно решить, выразив квадрат разности через квадрат суммы:
$(x - y)^2 = (x+y)^2 - 4xy = 5^2 - 4(-2) = 25 + 8 = 33$
Ответ: 33

4) $x³ + y³$

Для нахождения суммы кубов $x^3 + y^3$ используем формулу сокращенного умножения: $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$.
Мы уже знаем значения всех частей этого выражения: $x + y = 5$, $xy = -2$, и из пункта 2) мы нашли, что $x^2 + y^2 = 29$.
Подставим эти значения в формулу:
$x^3 + y^3 = (x + y)((x^2 + y^2) - xy) = 5 \cdot (29 - (-2)) = 5 \cdot (29 + 2) = 5 \cdot 31 = 155$
Другой способ — использовать тождество $x^3 + y^3 = (x + y)^3 - 3xy(x + y)$.
Подставив известные значения, получим: $5^3 - 3(-2)(5) = 125 - (-30) = 125 + 30 = 155$
Ответ: 155