Номер 5, страница 105 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Рабочая тетрадь 1. Глава 2. Целые выражения. Параграф 19. Применение различных способов разложения многочлена на множители - номер 5, страница 105.

Условие.

5. Разложите на множители выражение:

1) $a(a - 4) - (b + 2)(b - 2);$

2) $a(a + 2) + b(b + 2) - 2(a + 1)(b + 1) + 1.$

Решение.

1) Раскроем скобки в данном выражении, а затем сгруппируем члены полученного многочлена:

$a(a - 4) - (b + 2)(b - 2) =$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) $a(a-4) - (b+2)(b-2)$

Для разложения данного выражения на множители, сначала раскроем скобки. Выражение $(b+2)(b-2)$ является разностью квадратов, которая раскладывается по формуле $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$.

$(b+2)(b-2) = b^2 - 2^2 = b^2 - 4$.

Подставим это в исходное выражение:

$a(a-4) - (b^2 - 4) = a^2 - 4a - b^2 + 4$.

Теперь сгруппируем члены полученного многочлена. Заметим, что $a^2 - 4a + 4$ представляет собой полный квадрат разности: $a^2 - 2 \cdot a \cdot 2 + 2^2 = (a-2)^2$.

Таким образом, наше выражение можно переписать как:

$(a^2 - 4a + 4) - b^2 = (a-2)^2 - b^2$.

Мы получили новую разность квадратов, которую снова разложим на множители:

$(a-2)^2 - b^2 = ((a-2) - b)((a-2) + b) = (a - b - 2)(a + b - 2)$.

Ответ: $(a - b - 2)(a + b - 2)$.

2) $a(a+2) + b(b+2) - 2(a+1)(b+1) + 1$

Для начала раскроем все скобки в данном выражении:

$a(a+2) = a^2 + 2a$

$b(b+2) = b^2 + 2b$

$2(a+1)(b+1) = 2(ab + a + b + 1) = 2ab + 2a + 2b + 2$

Теперь подставим раскрытые части обратно в исходное выражение:

$(a^2 + 2a) + (b^2 + 2b) - (2ab + 2a + 2b + 2) + 1$.

Раскроем оставшиеся скобки и приведем подобные слагаемые:

$a^2 + 2a + b^2 + 2b - 2ab - 2a - 2b - 2 + 1 = a^2 + b^2 - 2ab + (2a - 2a) + (2b - 2b) + (-2 + 1) = a^2 - 2ab + b^2 - 1$.

Сгруппируем первые три члена. Выражение $a^2 - 2ab + b^2$ является полным квадратом разности: $(a-b)^2$.

Таким образом, выражение принимает вид:

$(a-b)^2 - 1$.

Это выражение представляет собой разность квадратов, так как $1 = 1^2$. Применим формулу $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$(a-b)^2 - 1^2 = ((a-b) - 1)((a-b) + 1) = (a - b - 1)(a - b + 1)$.

Ответ: $(a - b - 1)(a - b + 1)$.