Номер 11, страница 103 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Параграф 18. Сумма и разность двух выражений. Глава 2. Целые выражения. Рабочая тетрадь 1 - номер 11, страница 103.

Условие.

11. Известно, что числа a и b таковы, что $a^2 - b^4 = 3$. Найдите значение выражения $a^6 - 9a^2b^4 - b^{12}$.

Решение.

Имеем: $a^6 - 9a^2b^4 - b^{12} = (a^6 - b^{12}) - 9a^2b^4 = $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение.

По условию задачи нам дано равенство $a^2 - b^4 = 3$. Необходимо найти значение выражения $a^6 - 9a^2b^4 - b^{12}$.

Для решения этой задачи можно использовать метод подстановки. Выразим $a^2$ из данного равенства:

$a^2 = 3 + b^4$.

Теперь преобразуем искомое выражение, представив степени $a^6$ и $b^{12}$ через $a^2$ и $b^4$:

$a^6 - 9a^2b^4 - b^{12} = (a^2)^3 - 9a^2b^4 - (b^4)^3$.

Подставим выражение для $a^2$ в эту формулу:

$(3 + b^4)^3 - 9(3 + b^4)b^4 - (b^4)^3$.

Чтобы упростить вычисления, введем временную замену. Пусть $x = b^4$. Тогда выражение примет вид:

$(3 + x)^3 - 9(3 + x)x - x^3$.

Теперь раскроем скобки. Для первого слагаемого используем формулу куба суммы $(c+d)^3 = c^3 + 3c^2d + 3cd^2 + d^3$:

$(3 + x)^3 = 3^3 + 3 \cdot 3^2 \cdot x + 3 \cdot 3 \cdot x^2 + x^3 = 27 + 27x + 9x^2 + x^3$.

Раскроем второе слагаемое:

$-9(3 + x)x = -9(3x + x^2) = -27x - 9x^2$.

Теперь подставим полученные раскрытые выражения обратно в общую формулу:

$(27 + 27x + 9x^2 + x^3) + (-27x - 9x^2) - x^3$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$27 + (27x - 27x) + (9x^2 - 9x^2) + (x^3 - x^3) = 27 + 0 + 0 + 0 = 27$.

Таким образом, значение выражения не зависит от переменных $a$ и $b$ и равно 27.

Ответ: 27.