Номер 8, страница 101 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Рабочая тетрадь 1. Глава 2. Целые выражения. Параграф 18. Сумма и разность двух выражений - номер 8, страница 101.

Условие.

8. Запишите в пропуски такие одночлены, чтобы образовалось тождество:

1) $(9c - 2c^2)(\text{_______} + \text{_______} + \text{_______}) = 729c^3 - 8c^6;$

2) $(\text{_______} + \text{_______})(49x^6 - \text{_______} + 25x^4) = 343x^9 + 125x^6;$

3) $(m^2k - \text{_______}))(\text{_______} + \text{_______} + p^{10}) = m^6k^3 - p^{15}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) В данном тождестве используется формула разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$. Правая часть равенства, $729c^3 - 8c^6$, представляет собой разность кубов. Определим одночлены $a$ и $b$, из которых она составлена:
$a^3 = 729c^3 = (9c)^3$, следовательно, $a = 9c$.
$b^3 = 8c^6 = (2c^2)^3$, следовательно, $b = 2c^2$.
Первый множитель в левой части, $(9c - 2c^2)$, соответствует разности $(a - b)$, что подтверждает наше предположение. Второй множитель должен быть неполным квадратом суммы, то есть $(a^2 + ab + b^2)$. Найдем одночлены, которые нужно вписать в пропуски:
Первый пропуск (квадрат первого члена): $a^2 = (9c)^2 = 81c^2$.
Второй пропуск (произведение первого и второго членов): $ab = (9c)(2c^2) = 18c^3$.
Третий пропуск (квадрат второго члена): $b^2 = (2c^2)^2 = 4c^4$.
Таким образом, итоговое тождество: $(9c - 2c^2)(81c^2 + 18c^3 + 4c^4) = 729c^3 - 8c^6$.
Ответ: в пропуски нужно вписать одночлены $81c^2$, $18c^3$ и $4c^4$.

2) В этом тождестве используется формула суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$. Правая часть равенства, $343x^9 + 125x^6$, является суммой кубов. Определим $a$ и $b$:
$a^3 = 343x^9 = (7x^3)^3$, следовательно, $a = 7x^3$.
$b^3 = 125x^6 = (5x^2)^3$, следовательно, $b = 5x^2$.
Первый множитель в левой части должен соответствовать сумме $(a + b)$. Заполняем пропуски в первой скобке:
Первый пропуск: $a = 7x^3$.
Второй пропуск: $b = 5x^2$.
Второй множитель должен быть неполным квадратом разности $(a^2 - ab + b^2)$. Проверим известные члены и найдем недостающий.
$a^2 = (7x^3)^2 = 49x^6$. Это соответствует первому члену во второй скобке.
$b^2 = (5x^2)^2 = 25x^4$. Это соответствует третьему члену во второй скобке.
Третий пропуск (удвоенное произведение с минусом): $-ab = -(7x^3)(5x^2) = -35x^5$. Значит, в пропуск нужно вписать $35x^5$.
Таким образом, итоговое тождество: $(7x^3 + 5x^2)(49x^6 - 35x^5 + 25x^4) = 343x^9 + 125x^6$.
Ответ: в пропуски нужно вписать одночлены $7x^3$, $5x^2$ и $35x^5$.

3) Здесь, как и в первом примере, применяется формула разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$. Правая часть равенства, $m^{6k} - p^{15}$, является разностью кубов. Определим $a$ и $b$:
$a^3 = m^{6k} = (m^{2k})^3$, следовательно, $a = m^{2k}$. Это совпадает с первым членом в первой скобке.
$b^3 = p^{15} = (p^5)^3$, следовательно, $b = p^5$.
Первый множитель в левой части должен быть $(a - b)$. Заполняем пропуск в первой скобке:
Первый пропуск: $b = p^5$.
Второй множитель должен быть неполным квадратом суммы $(a^2 + ab + b^2)$. Заполним пропуски во второй скобке.
Последний член во второй скобке $p^{10}$ соответствует $b^2 = (p^5)^2 = p^{10}$, что верно.
Второй пропуск (первый член во второй скобке): $a^2 = (m^{2k})^2 = m^{4k}$.
Третий пропуск (средний член во второй скобке): $ab = m^{2k} \cdot p^5 = m^{2k}p^5$.
Таким образом, итоговое тождество: $(m^{2k} - p^5)(m^{4k} + m^{2k}p^5 + p^{10}) = m^{6k} - p^{15}$.
Ответ: в пропуски нужно вписать одночлены $p^5$, $m^{4k}$ и $m^{2k}p^5$.