Страница 101 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Мерзляк, Полонский

5. Найдите значение выражения:

1) $\frac{9^3+7^3}{32} = \frac{(9+7)(9^2 - 9 \cdot 7 + 7^2)}{32} =$

2) $\frac{16^3-10^3}{24} =$

Для нахождения значения выражения воспользуемся формулой сокращенного умножения для суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.

В данном выражении $a = 9$ и $b = 7$. Применим формулу к числителю дроби:

$\frac{9^3 + 7^3}{32} = \frac{(9+7)(9^2 - 9 \cdot 7 + 7^2)}{32}$

Теперь выполним вычисления по шагам. Сначала вычислим значение первого множителя в числителе и значения в скобках:

$9 + 7 = 16$

$9^2 = 81$

$9 \cdot 7 = 63$

$7^2 = 49$

Подставим эти значения обратно в выражение:

$\frac{16 \cdot (81 - 63 + 49)}{32}$

Вычислим значение выражения в скобках:

$81 - 63 + 49 = 18 + 49 = 67$

Теперь наше выражение выглядит так:

$\frac{16 \cdot 67}{32}$

Сократим дробь на 16:

$\frac{1 \cdot 67}{2} = \frac{67}{2} = 33,5$

Ответ: $33,5$.

Для решения этого примера воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$.

В нашем случае $a = 16$ и $b = 10$. Применим формулу к числителю:

$\frac{16^3 - 10^3}{24} = \frac{(16-10)(16^2 + 16 \cdot 10 + 10^2)}{24}$

Выполним вычисления по шагам:

$16 - 10 = 6$

$16^2 = 256$

$16 \cdot 10 = 160$

$10^2 = 100$

Подставим полученные значения в выражение:

$\frac{6 \cdot (256 + 160 + 100)}{24}$

Вычислим сумму в скобках:

$256 + 160 + 100 = 416 + 100 = 516$

Теперь выражение принимает вид:

$\frac{6 \cdot 516}{24}$

Сократим дробь на 6:

$\frac{1 \cdot 516}{4} = \frac{516}{4}$

Выполним деление:

$\frac{516}{4} = 129$

Ответ: $129$.

6. Разложите на множители:

1) $(a - 1)^3 - 216 = $

2) $(4x + 3)^3 + 27 = $

3) $125m^6 - (3m - 2)^3 = $

4) $(b + 6)^3 - (b - 6)^3 = $

1) $(a - 1)^3 - 216$

Данное выражение представляет собой разность кубов. Воспользуемся формулой разности кубов: $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.

В нашем случае, $x$ в формуле — это выражение $(a - 1)$, а $y$ в формуле — это число, куб которого равен 216.

Найдем $y$: $y^3 = 216$, значит $y = \sqrt[3]{216} = 6$.

Подставим $(a - 1)$ и $6$ в формулу разности кубов:
$(a - 1)^3 - 216 = (a - 1)^3 - 6^3 = ((a - 1) - 6)((a - 1)^2 + (a - 1) \cdot 6 + 6^2)$.

Теперь упростим каждую из скобок.

Первая скобка: $(a - 1) - 6 = a - 1 - 6 = a - 7$.

Вторая скобка: $(a - 1)^2 + 6(a - 1) + 36$.
Раскроем $(a - 1)^2$ по формуле квадрата разности: $(a - 1)^2 = a^2 - 2a + 1$.
Раскроем $6(a - 1)$: $6a - 6$.
Соберем всё вместе: $(a^2 - 2a + 1) + (6a - 6) + 36$.
Приведем подобные слагаемые: $a^2 + (-2a + 6a) + (1 - 6 + 36) = a^2 + 4a + 31$.

Таким образом, разложение на множители имеет вид: $(a - 7)(a^2 + 4a + 31)$.

Ответ: $(a - 7)(a^2 + 4a + 31)$.

2) $(4x + 3)^3 + 27$

Это выражение является суммой кубов. Используем формулу суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$.

Здесь $x$ в формуле — это $(4x + 3)$, а $y^3 = 27$, следовательно, $y = \sqrt[3]{27} = 3$.

Подставляем в формулу:
$(4x + 3)^3 + 27 = (4x + 3)^3 + 3^3 = ((4x + 3) + 3)((4x + 3)^2 - (4x + 3) \cdot 3 + 3^2)$.

Упростим полученные множители.

Первый множитель: $(4x + 3) + 3 = 4x + 6$.

Второй множитель: $(4x + 3)^2 - 3(4x + 3) + 9$.
Раскроем квадрат суммы: $(4x + 3)^2 = (4x)^2 + 2 \cdot 4x \cdot 3 + 3^2 = 16x^2 + 24x + 9$.
Раскроем скобки: $-3(4x + 3) = -12x - 9$.
Соберем все члены вместе: $(16x^2 + 24x + 9) - 12x - 9 + 9$.
Приведем подобные слагаемые: $16x^2 + (24x - 12x) + (9 - 9 + 9) = 16x^2 + 12x + 9$.

Результат разложения: $(4x + 6)(16x^2 + 12x + 9)$.

Ответ: $(4x + 6)(16x^2 + 12x + 9)$.

3) $125m^6 - (3m - 2)^3$

Это выражение также является разностью кубов. Сначала представим $125m^6$ в виде куба.

$125 = 5^3$ и $m^6 = (m^2)^3$. Следовательно, $125m^6 = (5m^2)^3$.

Теперь выражение имеет вид: $(5m^2)^3 - (3m - 2)^3$.

Применяем формулу разности кубов $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$, где $x = 5m^2$ и $y = (3m - 2)$.

$(5m^2 - (3m - 2))((5m^2)^2 + 5m^2(3m - 2) + (3m - 2)^2)$.

Упростим каждый множитель.

Первый множитель: $5m^2 - (3m - 2) = 5m^2 - 3m + 2$.

Второй множитель: $(5m^2)^2 + 5m^2(3m - 2) + (3m - 2)^2$.
$(5m^2)^2 = 25m^4$.
$5m^2(3m - 2) = 15m^3 - 10m^2$.
$(3m - 2)^2 = (3m)^2 - 2 \cdot 3m \cdot 2 + 2^2 = 9m^2 - 12m + 4$.
Сложим все части: $25m^4 + (15m^3 - 10m^2) + (9m^2 - 12m + 4)$.
Приведем подобные слагаемые: $25m^4 + 15m^3 + (-10m^2 + 9m^2) - 12m + 4 = 25m^4 + 15m^3 - m^2 - 12m + 4$.

Итоговое разложение: $(5m^2 - 3m + 2)(25m^4 + 15m^3 - m^2 - 12m + 4)$.

Ответ: $(5m^2 - 3m + 2)(25m^4 + 15m^3 - m^2 - 12m + 4)$.

4) $(b + 6)^3 - (b - 6)^3$

Перед нами разность кубов. Воспользуемся формулой $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.

В этом примере $x = (b + 6)$ и $y = (b - 6)$.

Подставим эти выражения в формулу:
$((b + 6) - (b - 6))((b + 6)^2 + (b + 6)(b - 6) + (b - 6)^2)$.

Упростим каждый из множителей.

Первый множитель: $(b + 6) - (b - 6) = b + 6 - b + 6 = 12$.

Второй множитель: $(b + 6)^2 + (b + 6)(b - 6) + (b - 6)^2$.
Раскроем каждую часть:
$(b + 6)^2 = b^2 + 12b + 36$ (квадрат суммы).
$(b + 6)(b - 6) = b^2 - 36$ (разность квадратов).
$(b - 6)^2 = b^2 - 12b + 36$ (квадрат разности).
Сложим все части: $(b^2 + 12b + 36) + (b^2 - 36) + (b^2 - 12b + 36)$.
Приведем подобные слагаемые: $(b^2 + b^2 + b^2) + (12b - 12b) + (36 - 36 + 36) = 3b^2 + 36$.

Теперь перемножим упрощенные множители: $12 \cdot (3b^2 + 36)$.

Можно вынести общий множитель 3 из второй скобки: $12 \cdot 3(b^2 + 12) = 36(b^2 + 12)$.

Ответ: $36(b^2 + 12)$.

7. Упростите выражение:

1) $(x - 1)(x^2 + x + 1) + (3 - x)(9 + 3x + x^2) = $

2) $(x - 6)(x^2 + 6x + 36) - x (x - 4)(x + 4) = $

3) $a (a - 20)^2 - (a + 10)(a^2 - 10a + 100) = $

4) $(a^2 - 2)(a^2 + 2)(a^4 - 2a^2 + 4)(a^4 + 2a^2 + 4) = $

1) $(x - 1)(x^2 + x + 1) + (3 - x)(9 + 3x + x^2)$

Для упрощения данного выражения мы будем использовать формулы сокращенного умножения.

Первая часть выражения, $(x - 1)(x^2 + x + 1)$, представляет собой формулу разности кубов: $(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$. В нашем случае $a = x$ и $b = 1$, поэтому произведение равно $x^3 - 1^3 = x^3 - 1$.

Вторая часть выражения, $(3 - x)(9 + 3x + x^2)$, также является разностью кубов. Если мы перепишем второй множитель как $(3^2 + 3 \cdot x + x^2)$, то увидим, что здесь $a = 3$ и $b = x$. Таким образом, это произведение равно $3^3 - x^3 = 27 - x^3$.

Теперь сложим результаты упрощения обеих частей:

$(x^3 - 1) + (27 - x^3) = x^3 - 1 + 27 - x^3$

Члены $x^3$ и $-x^3$ взаимно уничтожаются, и мы получаем:

$-1 + 27 = 26$

Ответ: $26$.

2) $(x - 6)(x^2 + 6x + 36) - x(x - 4)(x + 4)$

Рассмотрим каждую часть выражения отдельно.

Первая часть, $(x - 6)(x^2 + 6x + 36)$, является формулой разности кубов: $(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$. Здесь $a = x$ и $b = 6$. Следовательно, $(x - 6)(x^2 + 6x + 36) = x^3 - 6^3 = x^3 - 216$.

Вторая часть, $-x(x - 4)(x + 4)$, содержит произведение $(x - 4)(x + 4)$, которое является формулой разности квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$. Здесь $a = x$ и $b = 4$, поэтому $(x - 4)(x + 4) = x^2 - 4^2 = x^2 - 16$.

Теперь умножим результат на $-x$: $-x(x^2 - 16) = -x \cdot x^2 - x \cdot (-16) = -x^3 + 16x$.

Объединим обе упрощенные части:

$(x^3 - 216) + (-x^3 + 16x) = x^3 - 216 - x^3 + 16x$

Члены $x^3$ и $-x^3$ сокращаются. В результате получаем:

$16x - 216$

Ответ: $16x - 216$.

3) $a(a - 20)^2 - (a + 10)(a^2 - 10a + 100)$

Упростим каждую часть выражения по очереди.

Первая часть: $a(a - 20)^2$. Сначала раскроем квадрат разности: $(a - 20)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 20 + 20^2 = a^2 - 40a + 400$. Затем умножим на $a$: $a(a^2 - 40a + 400) = a^3 - 40a^2 + 400a$.

Вторая часть: $-(a + 10)(a^2 - 10a + 100)$. Выражение в скобках является формулой суммы кубов: $(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$. В данном случае $a$ совпадает с переменной $a$, а $b = 10$. Таким образом, $(a + 10)(a^2 - 10a + 100) = a^3 + 10^3 = a^3 + 1000$. Учитывая знак минус перед скобками, получаем $-(a^3 + 1000) = -a^3 - 1000$.

Теперь объединим результаты:

$(a^3 - 40a^2 + 400a) + (-a^3 - 1000) = a^3 - 40a^2 + 400a - a^3 - 1000$

Сокращаем $a^3$ и $-a^3$:

$-40a^2 + 400a - 1000$

Ответ: $-40a^2 + 400a - 1000$.

4) $(a^2 - 2)(a^2 + 2)(a^4 - 2a^2 + 4)(a^4 + 2a^2 + 4)$

Для упрощения этого выражения сгруппируем множители наиболее удобным образом, чтобы применить формулы сокращенного умножения.

Сгруппируем первый множитель с четвертым, а второй с третьим:

$[(a^2 - 2)(a^4 + 2a^2 + 4)] \cdot [(a^2 + 2)(a^4 - 2a^2 + 4)]$

Первая группа $[(a^2 - 2)(a^4 + 2a^2 + 4)]$ является формулой разности кубов. Если принять $x = a^2$ и $y = 2$, то выражение примет вид $(x - y)(x^2 + xy + y^2) = x^3 - y^3$. Подставив обратно, получаем: $(a^2)^3 - 2^3 = a^6 - 8$.

Вторая группа $[(a^2 + 2)(a^4 - 2a^2 + 4)]$ является формулой суммы кубов. Если принять $x = a^2$ и $y = 2$, то выражение примет вид $(x + y)(x^2 - xy + y^2) = x^3 + y^3$. Подставив обратно, получаем: $(a^2)^3 + 2^3 = a^6 + 8$.

Теперь перемножим результаты, полученные для каждой группы:

$(a^6 - 8)(a^6 + 8)$

Это выражение является формулой разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$, где $x = a^6$ и $y = 8$.

$(a^6)^2 - 8^2 = a^{12} - 64$

Ответ: $a^{12} - 64$.

8. Запишите в пропуски такие одночлены, чтобы образовалось тождество:

1) $(9c - 2c^2)(\text{_______} + \text{_______} + \text{_______}) = 729c^3 - 8c^6;$

2) $(\text{_______} + \text{_______})(49x^6 - \text{_______} + 25x^4) = 343x^9 + 125x^6;$

3) $(m^2k - \text{_______}))(\text{_______} + \text{_______} + p^{10}) = m^6k^3 - p^{15}.$

1) В данном тождестве используется формула разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$. Правая часть равенства, $729c^3 - 8c^6$, представляет собой разность кубов. Определим одночлены $a$ и $b$, из которых она составлена:
$a^3 = 729c^3 = (9c)^3$, следовательно, $a = 9c$.
$b^3 = 8c^6 = (2c^2)^3$, следовательно, $b = 2c^2$.
Первый множитель в левой части, $(9c - 2c^2)$, соответствует разности $(a - b)$, что подтверждает наше предположение. Второй множитель должен быть неполным квадратом суммы, то есть $(a^2 + ab + b^2)$. Найдем одночлены, которые нужно вписать в пропуски:
Первый пропуск (квадрат первого члена): $a^2 = (9c)^2 = 81c^2$.
Второй пропуск (произведение первого и второго членов): $ab = (9c)(2c^2) = 18c^3$.
Третий пропуск (квадрат второго члена): $b^2 = (2c^2)^2 = 4c^4$.
Таким образом, итоговое тождество: $(9c - 2c^2)(81c^2 + 18c^3 + 4c^4) = 729c^3 - 8c^6$.
Ответ: в пропуски нужно вписать одночлены $81c^2$, $18c^3$ и $4c^4$.

2) В этом тождестве используется формула суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$. Правая часть равенства, $343x^9 + 125x^6$, является суммой кубов. Определим $a$ и $b$:
$a^3 = 343x^9 = (7x^3)^3$, следовательно, $a = 7x^3$.
$b^3 = 125x^6 = (5x^2)^3$, следовательно, $b = 5x^2$.
Первый множитель в левой части должен соответствовать сумме $(a + b)$. Заполняем пропуски в первой скобке:
Первый пропуск: $a = 7x^3$.
Второй пропуск: $b = 5x^2$.
Второй множитель должен быть неполным квадратом разности $(a^2 - ab + b^2)$. Проверим известные члены и найдем недостающий.
$a^2 = (7x^3)^2 = 49x^6$. Это соответствует первому члену во второй скобке.
$b^2 = (5x^2)^2 = 25x^4$. Это соответствует третьему члену во второй скобке.
Третий пропуск (удвоенное произведение с минусом): $-ab = -(7x^3)(5x^2) = -35x^5$. Значит, в пропуск нужно вписать $35x^5$.
Таким образом, итоговое тождество: $(7x^3 + 5x^2)(49x^6 - 35x^5 + 25x^4) = 343x^9 + 125x^6$.
Ответ: в пропуски нужно вписать одночлены $7x^3$, $5x^2$ и $35x^5$.

3) Здесь, как и в первом примере, применяется формула разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$. Правая часть равенства, $m^{6k} - p^{15}$, является разностью кубов. Определим $a$ и $b$:
$a^3 = m^{6k} = (m^{2k})^3$, следовательно, $a = m^{2k}$. Это совпадает с первым членом в первой скобке.
$b^3 = p^{15} = (p^5)^3$, следовательно, $b = p^5$.
Первый множитель в левой части должен быть $(a - b)$. Заполняем пропуск в первой скобке:
Первый пропуск: $b = p^5$.
Второй множитель должен быть неполным квадратом суммы $(a^2 + ab + b^2)$. Заполним пропуски во второй скобке.
Последний член во второй скобке $p^{10}$ соответствует $b^2 = (p^5)^2 = p^{10}$, что верно.
Второй пропуск (первый член во второй скобке): $a^2 = (m^{2k})^2 = m^{4k}$.
Третий пропуск (средний член во второй скобке): $ab = m^{2k} \cdot p^5 = m^{2k}p^5$.
Таким образом, итоговое тождество: $(m^{2k} - p^5)(m^{4k} + m^{2k}p^5 + p^{10}) = m^{6k} - p^{15}$.
Ответ: в пропуски нужно вписать одночлены $p^5$, $m^{4k}$ и $m^{2k}p^5$.