Страница 104 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Мерзляк, Полонский

1. Разложите на множители:

1) $7a^2 - 7b^2 = 7(\text{__________}) = \text{__________}$

2) $3y^2 - 27y = \text{__________}$

3) $m^5 - m^3 = \text{__________}$

4) $\frac{49}{64}x^2y^3z^6 - 0.04yz^8 = \text{__________}$

5) $9a^2b^2 - 6ab^2 + b^2 = b^2(\text{__________}) = \text{__________}$

6) $-3m^3 + 6m^2n - 3mn^2 = \text{__________}$

7) $4b^2c - 20abc + 25a^2c = \text{__________}$

8) $16x - 2x^4 = 2x(\text{__________}) = \text{__________}$

9) $3a^5 + 375a^2 = \text{__________}$

10) $a^4 - 10000 = \text{__________}$

1) В выражении $7a^2 - 7b^2$ вынесем за скобки общий множитель $7$. Получим $7(a^2 - b^2)$. Выражение в скобках представляет собой разность квадратов, которую можно разложить по формуле $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$. Таким образом, $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Окончательное разложение на множители: $7(a - b)(a + b)$.

Ответ: $7(a - b)(a + b)$

2) В выражении $3y^2 - 27y$ найдем наибольший общий делитель. Для коэффициентов $3$ и $27$ это $3$, а для переменных $y^2$ и $y$ это $y$. Общий множитель — $3y$. Вынесем его за скобки: $3y(y) - 3y(9) = 3y(y - 9)$.

Ответ: $3y(y - 9)$

3) В выражении $m^5 - m^3$ вынесем за скобки общий множитель $m^3$. Получим $m^3(m^2 - 1)$. Выражение в скобках $m^2 - 1$ является разностью квадратов ($m^2 - 1^2$), которую разложим по формуле: $(m - 1)(m + 1)$. Окончательный вид: $m^3(m - 1)(m + 1)$.

Ответ: $m^3(m - 1)(m + 1)$

4) В выражении $\frac{49}{64}x^2y^3z^6 - 0,04yz^8$ сначала представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $0,04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25}$. Затем вынесем за скобки общий множитель $yz^6$. Получим $yz^6(\frac{49}{64}x^2y^2 - \frac{1}{25}z^2)$. Выражение в скобках является разностью квадратов: $(\frac{7}{8}xy)^2 - (\frac{1}{5}z)^2$. Применяя формулу разности квадратов, получаем $yz^6(\frac{7}{8}xy - \frac{1}{5}z)(\frac{7}{8}xy + \frac{1}{5}z)$.

Ответ: $yz^6(\frac{7}{8}xy - \frac{1}{5}z)(\frac{7}{8}xy + \frac{1}{5}z)$

5) В выражении $9a^2b^2 - 6ab^2 + b^2$ вынесем за скобки общий множитель $b^2$. Получим $b^2(9a^2 - 6a + 1)$. Выражение в скобках является полным квадратом разности, который раскладывается по формуле $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. В нашем случае $x = 3a$ и $y = 1$. Проверяем средний член: $2 \cdot 3a \cdot 1 = 6a$. Таким образом, $9a^2 - 6a + 1 = (3a - 1)^2$. Окончательный вид: $b^2(3a - 1)^2$.

Ответ: $b^2(3a - 1)^2$

6) В выражении $-3m^3 + 6m^2n - 3mn^2$ вынесем за скобки общий множитель $-3m$. Получим $-3m(m^2 - 2mn + n^2)$. Выражение в скобках является полным квадратом разности $(m - n)^2$. Окончательное разложение: $-3m(m - n)^2$.

Ответ: $-3m(m - n)^2$

7) В выражении $4b^2c - 20abc + 25a^2c$ вынесем за скобки общий множитель $c$. Получим $c(4b^2 - 20ab + 25a^2)$. Выражение в скобках является полным квадратом разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. В нашем случае $x = 2b$ и $y = 5a$. Проверяем средний член: $2 \cdot 2b \cdot 5a = 20ab$. Таким образом, $4b^2 - 20ab + 25a^2 = (2b - 5a)^2$. Окончательный вид: $c(2b - 5a)^2$.

Ответ: $c(2b - 5a)^2$

8) В выражении $16x - 2x^4$ вынесем за скобки общий множитель $2x$. Получим $2x(8 - x^3)$. Выражение в скобках является разностью кубов, которую можно разложить по формуле $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$. В нашем случае $a = 2$ и $b = x$. Таким образом, $8 - x^3 = 2^3 - x^3 = (2 - x)(2^2 + 2x + x^2) = (2 - x)(4 + 2x + x^2)$. Окончательное разложение: $2x(2 - x)(4 + 2x + x^2)$.

Ответ: $2x(2 - x)(4 + 2x + x^2)$

9) В выражении $3a^5 + 375a^2$ вынесем за скобки общий множитель $3a^2$. Получим $3a^2(a^3 + 125)$. Выражение в скобках является суммой кубов, которую можно разложить по формуле $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$. В нашем случае $x = a$ и $y = 5$. Таким образом, $a^3 + 125 = a^3 + 5^3 = (a + 5)(a^2 - 5a + 5^2) = (a + 5)(a^2 - 5a + 25)$. Окончательное разложение: $3a^2(a + 5)(a^2 - 5a + 25)$.

Ответ: $3a^2(a + 5)(a^2 - 5a + 25)$

10) Выражение $a^4 - 10000$ является разностью квадратов, так как его можно представить в виде $(a^2)^2 - (100)^2$. Применяя формулу разности квадратов, получаем $(a^2 - 100)(a^2 + 100)$. Первый множитель $a^2 - 100$ также является разностью квадратов ($a^2 - 10^2$), которую можно разложить на $(a - 10)(a + 10)$. Второй множитель $a^2 + 100$ является суммой квадратов и не раскладывается на множители в поле действительных чисел. Окончательное разложение: $(a - 10)(a + 10)(a^2 + 100)$.

Ответ: $(a - 10)(a + 10)(a^2 + 100)$

2. Разложите на множители:

1) $7mn + 21m - 7n - 21 = 7(mn + 3m - n - 3) = 7(m(n + 3) - (n + 3)) = $

2) $a^3 - 6a^2 - 4a + 24 = $

3) $abc - 9ab + 5ac - 45a = $

4) $8m^2 - 8n^2 - 56m^3n + 56mn^3 = $

5) $xy^5 + y^5 - xy^4 - y^4 = $

1) $7mn + 21m - 7n - 21$

В данном выражении все коэффициенты делятся на 7. Вынесем общий множитель 7 за скобки:

$7mn + 21m - 7n - 21 = 7(mn + 3m - n - 3)$

Теперь применим метод группировки к выражению в скобках. Сгруппируем первое слагаемое со вторым, а третье с четвертым:

$7((mn + 3m) + (-n - 3)) = 7((mn + 3m) - (n + 3))$

Вынесем общий множитель из каждой группы: $m$ из первой группы и $-1$ из второй.

$7(m(n + 3) - 1(n + 3))$

Теперь мы видим общий множитель $(n + 3)$, который тоже можно вынести за скобки:

$7(n + 3)(m - 1)$

Ответ: $7(n + 3)(m - 1)$

2) $a^3 - 6a^2 - 4a + 24$

Сгруппируем первое слагаемое со вторым, а третье с четвертым:

$(a^3 - 6a^2) + (-4a + 24)$

Вынесем общий множитель из каждой группы: $a^2$ из первой и $-4$ из второй. Обратите внимание, что при вынесении $-4$ из второй группы, знаки внутри скобок меняются на противоположные.

$a^2(a - 6) - 4(a - 6)$

Теперь вынесем общий множитель $(a - 6)$ за скобки:

$(a - 6)(a^2 - 4)$

Выражение $(a^2 - 4)$ является разностью квадратов, так как $4 = 2^2$. Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:

$(a - 6)(a - 2)(a + 2)$

Ответ: $(a - 6)(a - 2)(a + 2)$

3) $abc - 9ab + 5ac - 45a$

Заметим, что все члены многочлена содержат множитель $a$. Вынесем его за скобки:

$a(bc - 9b + 5c - 45)$

Теперь разложим на множители выражение в скобках методом группировки. Сгруппируем первое слагаемое со вторым и третье с четвертым:

$a((bc - 9b) + (5c - 45))$

Вынесем общие множители из каждой группы: $b$ из первой и $5$ из второй.

$a(b(c - 9) + 5(c - 9))$

Вынесем общий множитель $(c - 9)$ за скобки:

$a(c - 9)(b + 5)$

Ответ: $a(c - 9)(b + 5)$

4) $8m^2 - 8n^2 - 56m^3n + 56mn^3$

Все коэффициенты делятся на 8. Вынесем 8 за скобки:

$8(m^2 - n^2 - 7m^3n + 7mn^3)$

Перегруппируем слагаемые в скобках для удобства: первое с третьим и второе с четвертым.

$8((m^2 - 7m^3n) + (-n^2 + 7mn^3))$

Вынесем общие множители из каждой группы: $m^2$ из первой и $-n^2$ из второй.

$8(m^2(1 - 7mn) - n^2(1 - 7mn))$

Теперь вынесем общий множитель $(1 - 7mn)$ за скобки:

$8(1 - 7mn)(m^2 - n^2)$

Выражение $(m^2 - n^2)$ является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле:

$8(1 - 7mn)(m - n)(m + n)$

Ответ: $8(1 - 7mn)(m - n)(m + n)$

5) $xy^5 + y^5 - xy^4 - y^4$

Все члены многочлена содержат множитель $y^4$. Вынесем его за скобки:

$y^4(xy + y - x - 1)$

Сгруппируем слагаемые в скобках: первое со вторым и третье с четвертым.

$y^4((xy + y) + (-x - 1)) = y^4((xy + y) - (x + 1))$

Вынесем общие множители из каждой группы: $y$ из первой и $-1$ из второй.

$y^4(y(x + 1) - 1(x + 1))$

Вынесем общий множитель $(x + 1)$ за скобки:

$y^4(x + 1)(y - 1)$

Ответ: $y^4(x + 1)(y - 1)$

3. Представьте в виде произведения выражения:

1) $a^2 - 6a + 9 - b^2 = (a - 3)^2 - b^2 = $

2) $36 - a^2 + 2ac - c^2 = 36 - (a^2 - 2ac + c^2) = $

3) $(x^2 + 16)^2 - 64x^2 = $

4) $121 - 81x^2 - 90xy^2 - 25y^4 = $

1) Исходное выражение: $a^2 - 6a + 9 - b^2$.
Сначала сгруппируем первые три слагаемых. Заметим, что выражение $a^2 - 6a + 9$ является полным квадратом разности, так как соответствует формуле $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
В нашем случае $x=a$ и $y=3$, поэтому $a^2 - 6a + 9 = (a - 3)^2$.
Теперь исходное выражение можно записать в виде: $(a - 3)^2 - b^2$.
Это разность квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $X^2 - Y^2 = (X - Y)(X + Y)$.
Здесь $X = a - 3$ и $Y = b$.
Подставляя в формулу, получаем: $((a - 3) - b)((a - 3) + b)$.
Раскрыв внутренние скобки, получаем итоговое произведение: $(a - b - 3)(a + b - 3)$.
Ответ: $(a - b - 3)(a + b - 3)$.

2) Исходное выражение: $36 - a^2 + 2ac - c^2$.
Вынесем знак минус за скобки у последних трех слагаемых: $36 - (a^2 - 2ac + c^2)$.
Выражение в скобках, $a^2 - 2ac + c^2$, является полным квадратом разности по формуле $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$, где $x=a$ и $y=c$.
Таким образом, $a^2 - 2ac + c^2 = (a - c)^2$.
Исходное выражение преобразуется к виду: $36 - (a - c)^2$.
Представим число 36 как квадрат числа 6, то есть $6^2$. Получим: $6^2 - (a - c)^2$.
Это разность квадратов $X^2 - Y^2$, где $X=6$ и $Y = a - c$.
Применяем формулу разности квадратов $(X - Y)(X + Y)$: $(6 - (a - c))(6 + (a - c))$.
Раскрываем внутренние скобки и получаем произведение: $(6 - a + c)(6 + a - c)$.
Ответ: $(6 - a + c)(6 + a - c)$.

3) Исходное выражение: $(x^2 + 16)^2 - 64x^2$.
Представим второе слагаемое $64x^2$ в виде квадрата: $64x^2 = (8x)^2$.
Теперь выражение имеет вид разности квадратов: $(x^2 + 16)^2 - (8x)^2$.
Применяем формулу $X^2 - Y^2 = (X - Y)(X + Y)$, где $X = x^2 + 16$ и $Y = 8x$.
Получаем: $((x^2 + 16) - 8x)((x^2 + 16) + 8x)$.
Перегруппируем слагаемые внутри скобок для получения стандартного вида многочленов: $(x^2 - 8x + 16)(x^2 + 8x + 16)$.
Заметим, что каждое из выражений в скобках является полным квадратом.
Первая скобка: $x^2 - 8x + 16 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = (x - 4)^2$.
Вторая скобка: $x^2 + 8x + 16 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = (x + 4)^2$.
Таким образом, итоговое произведение имеет вид: $(x - 4)^2(x + 4)^2$.
Ответ: $(x - 4)^2(x + 4)^2$.

4) Исходное выражение: $121 - 81x^2 - 90xy^2 - 25y^4$.
Сгруппируем последние три слагаемых, вынеся за скобки общий множитель -1: $121 - (81x^2 + 90xy^2 + 25y^4)$.
Рассмотрим выражение в скобках: $81x^2 + 90xy^2 + 25y^4$. Это полный квадрат суммы, так как соответствует формуле $(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$.
Определим $A$ и $B$. $A^2 = 81x^2$, следовательно $A = 9x$.
$B^2 = 25y^4$, следовательно $B = 5y^2$.
Проверим, соответствует ли удвоенное произведение $2AB$ среднему члену: $2 \cdot (9x) \cdot (5y^2) = 90xy^2$. Соответствует.
Значит, $81x^2 + 90xy^2 + 25y^4 = (9x + 5y^2)^2$.
Теперь исходное выражение имеет вид: $121 - (9x + 5y^2)^2$.
Представим 121 как $11^2$: $11^2 - (9x + 5y^2)^2$.
Это разность квадратов $X^2 - Y^2$, где $X=11$ и $Y = 9x + 5y^2$.
Применяем формулу $(X - Y)(X + Y)$: $(11 - (9x + 5y^2))(11 + (9x + 5y^2))$.
Раскрыв внутренние скобки, получаем ответ: $(11 - 9x - 5y^2)(11 + 9x + 5y^2)$.
Ответ: $(11 - 9x - 5y^2)(11 + 9x + 5y^2)$.