Страница 98 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Мерзляк, Полонский

14. При каких значениях x и y равно нулю значение многочлена:

1) $x^2 - 6x + y^2 + 4y + 13;$

2) $16x^2 + 25y^2 + 40x - 40y + 41;$

3) $2x^2 + y^2 - 2x - 2xy + 1?$

Решение.

1) Преобразуем данное выражение:

$x^2 - 6x + y^2 + 4y + 13 = (x^2 - 6x + 9) - 9 + (y^2$

$- + 13 =$

2) $16x^2 + 25y^2 + 40x - 40y + 41 =$

3) $2x^2 + y^2 - 2x - 2xy + 1 =$

1) Чтобы найти значения x и y, при которых многочлен $x^2 - 6x + y^2 + 4y + 13$ равен нулю, приравняем его к нулю и преобразуем, выделив полные квадраты для переменных x и y.
$x^2 - 6x + y^2 + 4y + 13 = 0$
Сгруппируем слагаемые и дополним их до полных квадратов:
$(x^2 - 6x + 9) - 9 + (y^2 + 4y + 4) - 4 + 13 = 0$
Свернем квадраты и упростим выражение:
$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 - 13 + 13 = 0$
$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 0$
Сумма двух неотрицательных выражений (квадратов) равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из этих выражений равно нулю.
Следовательно, мы получаем систему уравнений:
$\begin{cases} (x - 3)^2 = 0 \\ (y + 2)^2 = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x - 3 = 0 \\ y + 2 = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x = 3 \\ y = -2 \end{cases}$
Ответ: $x = 3, y = -2$.

2) Приравняем многочлен $16x^2 + 25y^2 + 40x - 40y + 41$ к нулю и выделим полные квадраты.
$16x^2 + 25y^2 + 40x - 40y + 41 = 0$
Сгруппируем слагаемые:
$(16x^2 + 40x) + (25y^2 - 40y) + 41 = 0$
Дополним до полных квадратов:
$((4x)^2 + 2 \cdot 4x \cdot 5 + 5^2) - 25 + ((5y)^2 - 2 \cdot 5y \cdot 4 + 4^2) - 16 + 41 = 0$
$(4x + 5)^2 - 25 + (5y - 4)^2 - 16 + 41 = 0$
$(4x + 5)^2 + (5y - 4)^2 - 41 + 41 = 0$
$(4x + 5)^2 + (5y - 4)^2 = 0$
Сумма квадратов равна нулю, если каждый из них равен нулю.
$\begin{cases} (4x + 5)^2 = 0 \\ (5y - 4)^2 = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 4x + 5 = 0 \\ 5y - 4 = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 4x = -5 \\ 5y = 4 \end{cases} \implies \begin{cases} x = -5/4 \\ y = 4/5 \end{cases}$
Ответ: $x = -5/4, y = 4/5$.

3) Приравняем многочлен $2x^2 + y^2 - 2x - 2xy + 1$ к нулю и преобразуем его.
$2x^2 + y^2 - 2x - 2xy + 1 = 0$
Перегруппируем слагаемые, представив $2x^2$ как $x^2 + x^2$, чтобы выделить полные квадраты:
$(x^2 - 2xy + y^2) + (x^2 - 2x + 1) = 0$
Каждое выражение в скобках является полным квадратом:
$(x - y)^2 + (x - 1)^2 = 0$
Сумма квадратов равна нулю, только если оба слагаемых равны нулю.
$\begin{cases} (x - y)^2 = 0 \\ (x - 1)^2 = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x - y = 0 \\ x - 1 = 0 \end{cases}$
Из второго уравнения находим x: $x = 1$.
Подставляем это значение в первое уравнение: $1 - y = 0 \implies y = 1$.
Ответ: $x = 1, y = 1$.