Страница 93 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Мерзляк, Полонский

5. Найдите значение выражения:

1) $56^2 - 72 \cdot 56 + 36^2 = 56^2 - 2 \cdot 56 \cdot 36 + 36^2 = (\_ - \_)^2 = \_$

2) $13,8^2 + 16,2^2 + 27,6 \cdot 16,2 = \_$

3) $35^2 + 140 \cdot 12,5 + 25^2 = 35^2 + 2 \cdot 35 \cdot 12,5 + 25^2 = \_$

4) $19^2 - 9,5 \cdot 56 + 14^2 = \_$

1) Для решения используем формулу квадрата разности: $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.
$56^2 - 72 \cdot 56 + 36^2 = 56^2 - (2 \cdot 36) \cdot 56 + 36^2 = 56^2 - 2 \cdot 56 \cdot 36 + 36^2 = (56 - 36)^2 = 20^2 = 400$.
Ответ: 400.

2) Для решения используем формулу квадрата суммы: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.
$13,8^2 + 16,2^2 + 27,6 \cdot 16,2 = 13,8^2 + 27,6 \cdot 16,2 + 16,2^2 = 13,8^2 + (2 \cdot 13,8) \cdot 16,2 + 16,2^2 = 13,8^2 + 2 \cdot 13,8 \cdot 16,2 + 16,2^2 = (13,8 + 16,2)^2 = 30^2 = 900$.
Ответ: 900.

3) Для решения используем формулу квадрата суммы: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.
В выражении $35^2 + 140 \cdot 12,5 + 25^2$ определим $a=35$ и $b=25$. Проверим, равен ли средний член $2ab$:
$2ab = 2 \cdot 35 \cdot 25 = 70 \cdot 25 = 1750$.
Средний член в задании: $140 \cdot 12,5 = 1750$.
Так как значения совпадают, выражение является квадратом суммы:
$35^2 + 140 \cdot 12,5 + 25^2 = 35^2 + 2 \cdot 35 \cdot 25 + 25^2 = (35 + 25)^2 = 60^2 = 3600$.
Ответ: 3600.

4) Для решения используем формулу квадрата разности: $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.
В выражении $19^2 - 9,5 \cdot 56 + 14^2$ определим $a=19$ и $b=14$. Проверим, равен ли средний член $2ab$:
$2ab = 2 \cdot 19 \cdot 14 = 38 \cdot 14 = 532$.
Средний член в задании: $9,5 \cdot 56 = 532$.
Так как значения совпадают, выражение является квадратом разности:
$19^2 - 9,5 \cdot 56 + 14^2 = 19^2 - 2 \cdot 19 \cdot 14 + 14^2 = (19 - 14)^2 = 5^2 = 25$.
Ответ: 25.

6. Решите уравнение:

1) $49x^2 - 84x + 36 = 0$;

Решение.

Представим левую часть уравнения в виде квадрата разности:

Так как значение квадрата равно нулю тогда и только тогда, когда его основание равно нулю, то получаем:

Ответ:

2) $100x^2 + 60x + 9 = 0$;

3) $64x^2 - 240x + 225 = 0.$

1) $49x^2 - 84x + 36 = 0$

Решение.

Представим левую часть уравнения в виде квадрата разности. Для этого воспользуемся формулой сокращенного умножения: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем уравнении первый член $49x^2$ можно представить как $(7x)^2$, а последний член $36$ как $6^2$. Таким образом, можно предположить, что $a = 7x$ и $b = 6$.

Проверим средний член. По формуле он должен быть равен $-2ab$.

$-2 \cdot (7x) \cdot 6 = -84x$.

Это совпадает со средним членом в исходном уравнении. Значит, левую часть уравнения можно свернуть в полный квадрат разности.

$(7x - 6)^2 = 0$.

Так как значение квадрата равно нулю тогда и только тогда, когда его основание равно нулю, то получаем:

$7x - 6 = 0$

$7x = 6$

$x = \frac{6}{7}$

Ответ: $\frac{6}{7}$.

2) $100x^2 + 60x + 9 = 0$

Решение.

Данное уравнение можно решить, представив его левую часть в виде квадрата суммы по формуле $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Определим $a$ и $b$. Первый член $100x^2 = (10x)^2$, значит $a = 10x$. Последний член $9 = 3^2$, значит $b = 3$.

Проверим средний член. Он должен быть равен $2ab$.

$2 \cdot (10x) \cdot 3 = 60x$.

Средний член совпадает, следовательно, уравнение можно записать в виде:

$(10x + 3)^2 = 0$.

Квадрат выражения равен нулю, если само выражение равно нулю:

$10x + 3 = 0$

$10x = -3$

$x = -\frac{3}{10} = -0.3$

Ответ: $-0.3$.

3) $64x^2 - 240x + 225 = 0$

Решение.

Представим левую часть уравнения в виде квадрата разности по формуле $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Первый член $64x^2 = (8x)^2$, значит $a = 8x$. Последний член $225 = 15^2$, значит $b = 15$.

Проверим, совпадает ли средний член с $-2ab$.

$-2 \cdot (8x) \cdot 15 = -240x$.

Совпадение есть, поэтому уравнение можно переписать так:

$(8x - 15)^2 = 0$.

Приравниваем основание квадрата к нулю:

$8x - 15 = 0$

$8x = 15$

$x = \frac{15}{8}$

Ответ: $\frac{15}{8}$.