Страница 87 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Мерзляк, Полонский

11. Преобразуйте в многочлен выражение:

1) $4b(b^2 + 2b)^2 = 4b(b^4 + \text{_______} + \text{_______}) = \text{_______}$

2) $-24a\left(\frac{1}{3}x - \frac{1}{8}y\right)^2 = \text{_______}$

3) $(a - 2)(a + 5)^2 = (a - 2)(a^2 + \text{_______} + \text{_______}) = \text{_______}$

4) $(6y + 7)^2(2y - 1) = \text{_______}$

5) $(a - 4)^2(a + 4)^2 = ((a - 4)(a + 4))^2 = \text{_______}$

6) $(8m - 7n)^2(8m + 7n)^2 = \text{_______}$

1) Чтобы преобразовать выражение $4b(b^2 + 2b)^2$ в многочлен, сначала используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$ для выражения в скобках. Пусть $x = b^2$ и $y = 2b$.
$(b^2 + 2b)^2 = (b^2)^2 + 2 \cdot b^2 \cdot 2b + (2b)^2 = b^4 + 4b^3 + 4b^2$.
Теперь подставим полученный многочлен в исходное выражение:
$4b(b^4 + 4b^3 + 4b^2)$.
Далее, умножим $4b$ на каждый член многочлена в скобках (распределительный закон):
$4b \cdot b^4 + 4b \cdot 4b^3 + 4b \cdot 4b^2 = 4b^5 + 16b^4 + 16b^3$.
Ответ: $4b^5 + 16b^4 + 16b^3$.

2) Для преобразования выражения $-24a(\frac{1}{3}x - \frac{1}{8}y)^2$ сначала возведем в квадрат двучлен в скобках, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$.
$(\frac{1}{3}x - \frac{1}{8}y)^2 = (\frac{1}{3}x)^2 - 2 \cdot \frac{1}{3}x \cdot \frac{1}{8}y + (\frac{1}{8}y)^2 = \frac{1}{9}x^2 - \frac{2}{24}xy + \frac{1}{64}y^2 = \frac{1}{9}x^2 - \frac{1}{12}xy + \frac{1}{64}y^2$.
Теперь умножим полученный результат на $-24a$:
$-24a(\frac{1}{9}x^2 - \frac{1}{12}xy + \frac{1}{64}y^2) = -24a \cdot \frac{1}{9}x^2 - (-24a) \cdot \frac{1}{12}xy + (-24a) \cdot \frac{1}{64}y^2$.
$= -\frac{24}{9}ax^2 + \frac{24}{12}axy - \frac{24}{64}ay^2$.
Сократим дроби:
$-\frac{8 \cdot 3}{3 \cdot 3}ax^2 + 2axy - \frac{8 \cdot 3}{8 \cdot 8}ay^2 = -\frac{8}{3}ax^2 + 2axy - \frac{3}{8}ay^2$.
Ответ: $-\frac{8}{3}ax^2 + 2axy - \frac{3}{8}ay^2$.

3) В выражении $(a - 2)(a + 5)^2$ сначала раскроем скобки с квадратом:
$(a + 5)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 5 + 5^2 = a^2 + 10a + 25$.
Теперь умножим многочлен $(a-2)$ на полученный многочлен $(a^2 + 10a + 25)$:
$(a - 2)(a^2 + 10a + 25) = a(a^2 + 10a + 25) - 2(a^2 + 10a + 25)$
$= (a^3 + 10a^2 + 25a) - (2a^2 + 20a + 50)$.
Раскроем вторые скобки и приведем подобные слагаемые:
$a^3 + 10a^2 + 25a - 2a^2 - 20a - 50 = a^3 + (10a^2 - 2a^2) + (25a - 20a) - 50 = a^3 + 8a^2 + 5a - 50$.
Ответ: $a^3 + 8a^2 + 5a - 50$.

4) В выражении $(6y + 7)^2(2y - 1)$ сначала раскроем скобки с квадратом:
$(6y + 7)^2 = (6y)^2 + 2 \cdot 6y \cdot 7 + 7^2 = 36y^2 + 84y + 49$.
Теперь умножим полученный многочлен на $(2y-1)$:
$(36y^2 + 84y + 49)(2y - 1) = 2y(36y^2 + 84y + 49) - 1(36y^2 + 84y + 49)$
$= (72y^3 + 168y^2 + 98y) - (36y^2 + 84y + 49)$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$72y^3 + 168y^2 + 98y - 36y^2 - 84y - 49 = 72y^3 + (168y^2 - 36y^2) + (98y - 84y) - 49 = 72y^3 + 132y^2 + 14y - 49$.
Ответ: $72y^3 + 132y^2 + 14y - 49$.

5) Для преобразования выражения $(a - 4)^2(a + 4)^2$ воспользуемся свойством степени $(xy)^n=x^ny^n$ в обратном порядке:
$(a - 4)^2(a + 4)^2 = ((a - 4)(a + 4))^2$.
Выражение в скобках является разностью квадратов $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$:
$(a - 4)(a + 4) = a^2 - 4^2 = a^2 - 16$.
Теперь возведем результат в квадрат:
$(a^2 - 16)^2 = (a^2)^2 - 2 \cdot a^2 \cdot 16 + 16^2 = a^4 - 32a^2 + 256$.
Ответ: $a^4 - 32a^2 + 256$.

6) Выражение $(8m - 7n)^2(8m + 7n)^2$ преобразуется аналогично предыдущему пункту.
Сгруппируем основания под одним показателем степени:
$((8m - 7n)(8m + 7n))^2$.
Применим формулу разности квадратов к выражению в скобках:
$(8m - 7n)(8m + 7n) = (8m)^2 - (7n)^2 = 64m^2 - 49n^2$.
Теперь возведем полученный двучлен в квадрат:
$(64m^2 - 49n^2)^2 = (64m^2)^2 - 2 \cdot (64m^2) \cdot (49n^2) + (49n^2)^2$.
Вычислим коэффициенты: $64^2 = 4096$; $2 \cdot 64 \cdot 49 = 6272$; $49^2 = 2401$.
В результате получаем многочлен:
$4096m^4 - 6272m^2n^2 + 2401n^4$.
Ответ: $4096m^4 - 6272m^2n^2 + 2401n^4$.

12. Найдите значение выражения:

1) $(3a - 6b)^2 + (3a + 6b)^2 - 6a^2$, если $a = \frac{1}{2}$, $b = -\frac{1}{3}$;

Решение.

Упростим данное выражение:

$(3a - 6b)^2 + (3a + 6b)^2 - 6a^2 =$

Ответ:

2) $(1 - 4c^3)(4c^3 + 1) + (4c^3 - 3)^2$, если $c = \frac{1}{6}$.

1) Найдем значение выражения $(3a - 6b)^2 + (3a + 6b)^2 - 6a^2$, если $a = \frac{1}{2}$, $b = -\frac{1}{3}$.

Сначала упростим выражение, используя формулы сокращенного умножения: квадрат разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$ и квадрат суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Раскроем скобки:

$(3a - 6b)^2 = (3a)^2 - 2 \cdot 3a \cdot 6b + (6b)^2 = 9a^2 - 36ab + 36b^2$

$(3a + 6b)^2 = (3a)^2 + 2 \cdot 3a \cdot 6b + (6b)^2 = 9a^2 + 36ab + 36b^2$

Теперь подставим раскрытые скобки обратно в исходное выражение:

$(9a^2 - 36ab + 36b^2) + (9a^2 + 36ab + 36b^2) - 6a^2$

Приведем подобные слагаемые:

$9a^2 + 9a^2 - 6a^2 - 36ab + 36ab + 36b^2 + 36b^2 = (18a^2 - 6a^2) + 0 + (36b^2 + 36b^2) = 12a^2 + 72b^2$

Теперь, когда выражение упрощено, подставим в него числовые значения $a = \frac{1}{2}$ и $b = -\frac{1}{3}$:

$12a^2 + 72b^2 = 12 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 72 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^2 = 12 \cdot \frac{1}{4} + 72 \cdot \frac{1}{9}$

Выполним вычисления:

$\frac{12}{4} + \frac{72}{9} = 3 + 8 = 11$

Ответ: 11

2) Найдем значение выражения $(1 - 4c^3)(4c^3 + 1) + (4c^3 - 3)^2$, если $c = \frac{1}{6}$.

Сначала упростим выражение. Заметим, что первая часть $(1 - 4c^3)(4c^3 + 1)$ является произведением разности и суммы, что соответствует формуле разности квадратов: $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.

$(1 - 4c^3)(1 + 4c^3) = 1^2 - (4c^3)^2 = 1 - 16c^6$

Вторая часть $(4c^3 - 3)^2$ является квадратом разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

$(4c^3 - 3)^2 = (4c^3)^2 - 2 \cdot 4c^3 \cdot 3 + 3^2 = 16c^6 - 24c^3 + 9$

Теперь сложим упрощенные части:

$(1 - 16c^6) + (16c^6 - 24c^3 + 9)$

Приведем подобные слагаемые:

$1 - 16c^6 + 16c^6 - 24c^3 + 9 = (1+9) + (-16c^6+16c^6) - 24c^3 = 10 - 24c^3$

Подставим в упрощенное выражение значение $c = \frac{1}{6}$:

$10 - 24c^3 = 10 - 24 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^3 = 10 - 24 \cdot \frac{1}{216}$

Выполним вычисления:

$10 - \frac{24}{216} = 10 - \frac{1}{9} = \frac{90}{9} - \frac{1}{9} = \frac{89}{9}$

Ответ: $\frac{89}{9}$