Страница 81 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Мерзляк, Полонский

13. Докажите, что квадрат любого нечётного числа, уменьшенный на единицу, делится нацело на 8.

Решение.

Пусть данное число равно $2n - 1$, где $n$ — произвольное натуральное число. Разложим на множители выражение $(2n - 1)^2 - 1$:

$(2n - 1)^2 - 1=$

Решение.

Пусть дано произвольное нечётное число. Любое нечётное число можно представить в виде $2n - 1$, где $n$ — произвольное натуральное число (то есть $n = 1, 2, 3, \ldots$).

Нам необходимо доказать, что квадрат этого числа, уменьшенный на единицу, то есть выражение $(2n - 1)^2 - 1$, делится нацело на 8.

Преобразуем данное выражение. Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$(2n - 1)^2 - 1 = (2n - 1)^2 - 1^2 = ((2n - 1) - 1)((2n - 1) + 1)$

Упростим выражение в каждой из скобок:

$(2n - 2)(2n)$

Теперь вынесем общий множитель 2 из первой скобки:

$2(n - 1) \cdot 2n = 4n(n - 1)$

Рассмотрим полученное произведение $4n(n - 1)$. Множитель $n(n - 1)$ является произведением двух последовательных натуральных чисел: $n - 1$ и $n$. В любой паре последовательных чисел одно из них обязательно чётное. Следовательно, их произведение $n(n - 1)$ всегда делится на 2.

Это означает, что произведение $n(n - 1)$ можно представить в виде $2k$ для некоторого целого числа $k$.

Подставим это в наше выражение:

$4n(n - 1) = 4 \cdot (2k) = 8k$

Полученное выражение $8k$ при любом целом $k$ делится нацело на 8. Таким образом, мы доказали, что квадрат любого нечётного числа, уменьшенный на единицу, делится нацело на 8. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Квадрат нечётного числа $(2n-1)$, уменьшенный на единицу, равен $(2n-1)^2-1 = 4n(n-1)$. Поскольку $n(n-1)$ — это произведение двух последовательных чисел, оно всегда чётно, то есть $n(n-1)=2k$ для некоторого целого $k$. Отсюда $(2n-1)^2-1=4(2k)=8k$, что без остатка делится на 8.

14. Докажите, что разность квадратов двух двузначных чисел, записанных одними и теми же цифрами, делится нацело на 99.

Решение.

Пусть одно из этих чисел равно $10a + b$, где $a$ и $b$ — однозначные натуральные числа. Тогда другое число равно

Решение.

Пусть даны два двузначных числа, записанных одними и теми же цифрами. Обозначим цифру десятков первого числа как $a$, а цифру единиц как $b$. Тогда первое число $N_1$ можно представить в виде $N_1 = 10a + b$.

Второе число $N_2$, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, будет иметь вид $N_2 = 10b + a$.

По условию, оба числа являются двузначными. Это накладывает ограничения на цифры $a$ и $b$. Цифра десятков не может быть нулем. Следовательно, $a \in \{1, 2, ..., 9\}$ и $b \in \{1, 2, ..., 9\}$. Если бы одна из цифр была равна нулю, то одно из чисел стало бы однозначным (например, если $b=0$, то $N_2 = a$). Также, чтобы числа были разными, необходимо условие $a \neq b$.

Нам необходимо доказать, что разность их квадратов, то есть $N_1^2 - N_2^2$, делится нацело на 99.

Запишем это выражение:
$N_1^2 - N_2^2 = (10a + b)^2 - (10b + a)^2$.

Для упрощения воспользуемся формулой разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
$(10a + b)^2 - (10b + a)^2 = ((10a + b) - (10b + a)) \cdot ((10a + b) + (10b + a))$.

Теперь упростим каждый из множителей в правой части равенства.
Первый множитель (разность чисел):
$(10a + b) - (10b + a) = 10a + b - 10b - a = 9a - 9b = 9(a - b)$.
Второй множитель (сумма чисел):
$(10a + b) + (10b + a) = 10a + b + 10b + a = 11a + 11b = 11(a + b)$.

Перемножим полученные выражения:
$N_1^2 - N_2^2 = 9(a - b) \cdot 11(a + b) = 99(a - b)(a + b)$.

Поскольку $a$ и $b$ являются целыми числами (цифрами от 1 до 9), то их сумма $(a + b)$ и разность $(a - b)$ также являются целыми числами. Следовательно, их произведение $(a - b)(a + b)$ — это целое число.

Таким образом, выражение $99(a - b)(a + b)$ представляет собой произведение числа 99 на некоторое целое число. По определению делимости, это означает, что разность квадратов $N_1^2 - N_2^2$ всегда делится нацело на 99.

Ответ: Утверждение доказано. Разность квадратов двух двузначных чисел, записанных одними и теми же цифрами $a$ и $b$, всегда равна $99(a-b)(a+b)$, и так как $(a-b)(a+b)$ является целым числом, это выражение всегда делится на 99.

15. Остаток при делении на 9 натурального числа m равен 7, а натурального числа n — 2. Докажите, что разность квадратов чисел m и n делится нацело на 9.

Пусть неполное частное при делении числа m на 9 равно x.

Тогда $m = 9x + 7$

Пусть неполное частное при делении числа n на 9 равно y.

Тогда $n = 9y + 2$

По условию задачи, остаток при делении натурального числа $m$ на 9 равен 7. Это означает, что число $m$ можно представить в виде равенства:

$m = 9k + 7$

где $k$ — это неполное частное, являющееся целым неотрицательным числом.

Аналогично, остаток при делении натурального числа $n$ на 9 равен 2. Это означает, что число $n$ можно представить в виде равенства:

$n = 9q + 2$

где $q$ — это неполное частное, являющееся целым неотрицательным числом.

Требуется доказать, что разность квадратов чисел $m$ и $n$, то есть выражение $m^2 - n^2$, делится нацело на 9.

Для доказательства воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Применительно к нашим числам:

$m^2 - n^2 = (m - n)(m + n)$

Теперь подставим выражения для $m$ и $n$ в каждый из множителей в правой части равенства.

Найдем значение первого множителя $(m - n)$:

$m - n = (9k + 7) - (9q + 2) = 9k + 7 - 9q - 2 = 9k - 9q + 5 = 9(k - q) + 5$

Найдем значение второго множителя $(m + n)$:

$m + n = (9k + 7) + (9q + 2) = 9k + 9q + 7 + 2 = 9k + 9q + 9 = 9(k + q + 1)$

Теперь перемножим полученные выражения для множителей:

$m^2 - n^2 = (9(k - q) + 5) \cdot 9(k + q + 1)$

Рассмотрим полученное произведение. Один из его сомножителей, а именно $9(k + q + 1)$, очевидно делится нацело на 9, поскольку он содержит множитель 9 (при этом $k$, $q$ являются целыми числами, значит и выражение в скобках $k + q + 1$ — целое число).

Согласно свойству делимости, если один из множителей в произведении делится на некоторое число, то и всё произведение делится на это число. В нашем случае, так как множитель $9(k + q + 1)$ делится на 9, то и вся разность квадратов $m^2 - n^2$ делится на 9.

Таким образом, мы доказали, что $m^2 - n^2$ делится нацело на 9.

Ответ: Утверждение доказано. Поскольку разность квадратов $m^2-n^2$ может быть представлена в виде произведения $(9(k - q) + 5) \cdot 9(k + q + 1)$, в котором один из множителей делится на 9, то и все произведение делится нацело на 9.