Страница 77 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Мерзляк, Полонский

7. Разложите на множители:

1) $a^4 - 16b^4 = (a^2 - \underline{\hspace{2em}})(a^2 + \underline{\hspace{2em}}) = (a - \underline{\hspace{2em}})(a + \underline{\hspace{2em}})(a^2 + \underline{\hspace{2em}});$

2) $625 - x^8 = \underline{\hspace{5em}}$

3) $a^{16} - b^{24} = (a^8 - \underline{\hspace{2em}})(a^8 + \underline{\hspace{2em}}) = (a^4 - \underline{\hspace{2em}})(a^4 + \underline{\hspace{2em}})(a^8 + \underline{\hspace{2em}}) = \underline{\hspace{5em}}$

1)

Для разложения на множители выражения $a^4 - 16b^4$ мы будем использовать формулу разности квадратов: $X^2 - Y^2 = (X - Y)(X + Y)$.

Сначала представим выражение в виде разности квадратов. Заметим, что $a^4 = (a^2)^2$ и $16b^4 = (4b^2)^2$. Следовательно, выражение можно переписать так: $a^4 - 16b^4 = (a^2)^2 - (4b^2)^2$.

Применяя формулу разности квадратов, где $X = a^2$ и $Y = 4b^2$, получаем первый шаг разложения: $(a^2)^2 - (4b^2)^2 = (a^2 - 4b^2)(a^2 + 4b^2)$.

Теперь рассмотрим множитель $(a^2 - 4b^2)$. Он также является разностью квадратов, поскольку $4b^2 = (2b)^2$. Применяя ту же формулу, где $X = a$ и $Y = 2b$, получаем: $a^2 - (2b)^2 = (a - 2b)(a + 2b)$.

Множитель $(a^2 + 4b^2)$ является суммой квадратов и не раскладывается на множители с действительными коэффициентами.

Объединяя все части, мы получаем полное разложение на множители: $a^4 - 16b^4 = (a - 2b)(a + 2b)(a^2 + 4b^2)$.

Ответ: $a^4 - 16b^4 = (a^2 - 4b^2)(a^2 + 4b^2) = (a - 2b)(a + 2b)(a^2 + 4b^2)$.

2)

Для разложения на множители выражения $625 - x^8$ мы последовательно применим формулу разности квадратов $X^2 - Y^2 = (X - Y)(X + Y)$.

Представим исходное выражение как разность квадратов: $625 = 25^2$ и $x^8 = (x^4)^2$. $625 - x^8 = 25^2 - (x^4)^2 = (25 - x^4)(25 + x^4)$.

Множитель $(25 - x^4)$ снова является разностью квадратов, так как $25 = 5^2$ и $x^4 = (x^2)^2$. $25 - x^4 = 5^2 - (x^2)^2 = (5 - x^2)(5 + x^2)$.

Множители $(25 + x^4)$ и $(5 + x^2)$ являются суммами квадратов, которые не раскладываются на множители с действительными коэффициентами. Множитель $(5 - x^2)$ можно разложить как $(\sqrt{5} - x)(\sqrt{5} + x)$, но обычно разложение прекращают, если коэффициенты становятся иррациональными.

Таким образом, окончательное разложение в целых числах имеет вид: $625 - x^8 = (5 - x^2)(5 + x^2)(25 + x^4)$.

Ответ: $625 - x^8 = (25 - x^4)(25 + x^4) = (5 - x^2)(5 + x^2)(25 + x^4)$.

3)

Для разложения на множители выражения $a^{16} - b^{24}$ мы будем многократно использовать формулу разности квадратов $X^2 - Y^2 = (X - Y)(X + Y)$.

Шаг 1: Представим выражение как разность квадратов. $a^{16} = (a^8)^2$ и $b^{24} = (b^{12})^2$. $a^{16} - b^{24} = (a^8)^2 - (b^{12})^2 = (a^8 - b^{12})(a^8 + b^{12})$.

Шаг 2: Разложим множитель $(a^8 - b^{12})$. $a^8 = (a^4)^2$ и $b^{12} = (b^6)^2$. $a^8 - b^{12} = (a^4)^2 - (b^6)^2 = (a^4 - b^6)(a^4 + b^6)$. На этом этапе разложение выглядит так: $(a^4 - b^6)(a^4 + b^6)(a^8 + b^{12})$.

Шаг 3: Разложим множитель $(a^4 - b^6)$. $a^4 = (a^2)^2$ и $b^6 = (b^3)^2$. $a^4 - b^6 = (a^2)^2 - (b^3)^2 = (a^2 - b^3)(a^2 + b^3)$.

Шаг 4: Собираем все множители вместе. Выражения $(a^2 - b^3)$, $(a^2 + b^3)$, $(a^4 + b^6)$ и $(a^8 + b^{12})$ не могут быть разложены дальше с помощью стандартных формул сокращенного умножения в действительных числах.

Полное разложение выглядит следующим образом: $a^{16} - b^{24} = (a^2 - b^3)(a^2 + b^3)(a^4 + b^6)(a^8 + b^{12})$.

Ответ: $a^{16} - b^{24} = (a^8 - b^{12})(a^8 + b^{12}) = (a^4 - b^6)(a^4 + b^6)(a^8 + b^{12}) = (a^2 - b^3)(a^2 + b^3)(a^4 + b^6)(a^8 + b^{12})$.

8. Решите уравнение:

1) $(7x - 1)^2 - 36 = 0;$

Решение.

Имеем:

$(7x - 1 - \quad)(7x - 1 + \quad) = 0;$

Ответ:

2) $(5x + 2)^2 - 16x^2 = 0;$

3) $(3y - 1)^2 - (y + 3)^2 = 0;$

Решение.

Ответ:

4) $64(4y + 1)^2 - (12y - 5)^2 = 0.$

1) $(7x - 1)^2 - 36 = 0$

Данное уравнение можно решить, используя формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

В нашем случае $a = 7x - 1$, а $b^2 = 36$, следовательно, $b = 6$.

Подставим значения в формулу:

$((7x - 1) - 6)((7x - 1) + 6) = 0$

Упростим выражения в скобках:

$(7x - 7)(7x + 5) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем каждый множитель к нулю:

1. $7x - 7 = 0$

$7x = 7$

$x_1 = 1$

2. $7x + 5 = 0$

$7x = -5$

$x_2 = -\frac{5}{7}$

Ответ: $1; -\frac{5}{7}$

2) $(5x + 2)^2 - 16x^2 = 0$

Представим уравнение в виде разности квадратов. Заметим, что $16x^2 = (4x)^2$.

Тогда уравнение принимает вид:

$(5x + 2)^2 - (4x)^2 = 0$

Применяем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 5x + 2$ и $b = 4x$.

$((5x + 2) - 4x)((5x + 2) + 4x) = 0$

Упрощаем выражения в скобках:

$(x + 2)(9x + 2) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

1. $x + 2 = 0$

$x_1 = -2$

2. $9x + 2 = 0$

$9x = -2$

$x_2 = -\frac{2}{9}$

Ответ: $-2; -\frac{2}{9}$

3) $(3y - 1)^2 - (y + 3)^2 = 0$

Это уравнение также является разностью квадратов, где $a = 3y - 1$ и $b = y + 3$.

Применяем формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$((3y - 1) - (y + 3))((3y - 1) + (y + 3)) = 0$

Раскрываем внутренние скобки и упрощаем:

$(3y - 1 - y - 3)(3y - 1 + y + 3) = 0$

$(2y - 4)(4y + 2) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

1. $2y - 4 = 0$

$2y = 4$

$y_1 = 2$

2. $4y + 2 = 0$

$4y = -2$

$y_2 = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$

Ответ: $2; -\frac{1}{2}$

4) $64(4y + 1)^2 - (12y - 5)^2 = 0$

Сначала представим первый член в виде квадрата одного выражения: $64(4y + 1)^2 = (8(4y + 1))^2 = (32y + 8)^2$.

Теперь уравнение имеет вид разности квадратов:

$(32y + 8)^2 - (12y - 5)^2 = 0$

Применяем формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 32y + 8$ и $b = 12y - 5$.

$((32y + 8) - (12y - 5))((32y + 8) + (12y - 5)) = 0$

Раскрываем внутренние скобки и упрощаем:

$(32y + 8 - 12y + 5)(32y + 8 + 12y - 5) = 0$

$(20y + 13)(44y + 3) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

1. $20y + 13 = 0$

$20y = -13$

$y_1 = -\frac{13}{20}$

2. $44y + 3 = 0$

$44y = -3$

$y_2 = -\frac{3}{44}$

Ответ: $-\frac{13}{20}; -\frac{3}{44}$

13. Велосипедист доезжает из города А в город В за 3 ч 22 мин, а из города В в город А – за 3 ч 18 мин. Дорога между городами А и В состоит из спусков, подъёмов и ровных участков. Общая длина ровных участков дороги составляет 18 км. На спусках велосипедист движется со скоростью 15 км/ч, на подъёмах – 10 км/ч, а на ровных участках – 12 км/ч. Найдите длину дороги между городами А и В.

Решение.

Пусть общая длина спусков на пути из А в В равна $x$ км, а общая длина подъёмов – $y$ км. Тогда, двигаясь из А в В, на все спуски велосипедист тратил $\frac{x}{15}$ ч, на все подъёмы – $\frac{y}{10}$ ч, а на ровные участки – $\frac{18}{12}$ ч.

Решение.

Пусть общая длина спусков на пути из города А в город В равна $x$ км, а общая длина подъёмов на этом же пути — $y$ км. По условию, общая длина ровных участков дороги составляет 18 км.

Скорости велосипедиста на разных участках:

• на спусках ($v_{сп}$): 15 км/ч
• на подъёмах ($v_{пд}$): 10 км/ч
• на ровных участках ($v_{рв}$): 12 км/ч

Переведем общее время в пути в часы:

• Время из А в В: 3 ч 22 мин = $3 + \frac{22}{60} \text{ ч} = 3 + \frac{11}{30} \text{ ч} = \frac{90+11}{30} \text{ ч} = \frac{101}{30}$ ч.
• Время из В в А: 3 ч 18 мин = $3 + \frac{18}{60} \text{ ч} = 3 + \frac{3}{10} \text{ ч} = \frac{30+3}{10} \text{ ч} = \frac{33}{10}$ ч.

Когда велосипедист едет из А в В, он тратит время $t_{АВ}$. Это время складывается из времени на спусках, подъёмах и ровных участках:$t_{АВ} = \frac{x}{v_{сп}} + \frac{y}{v_{пд}} + \frac{18}{v_{рв}}$

Подставим значения скоростей и времени:$\frac{x}{15} + \frac{y}{10} + \frac{18}{12} = \frac{101}{30}$

Когда велосипедист едет обратно из В в А, участки, которые были спусками, становятся подъёмами, а подъёмы — спусками. Длина ровных участков не меняется. Таким образом, на пути из В в А длина спусков равна $y$ км, а длина подъёмов — $x$ км.

Время в пути из В в А ($t_{ВА}$) равно:$t_{ВА} = \frac{y}{v_{сп}} + \frac{x}{v_{пд}} + \frac{18}{v_{рв}}$

Подставим значения:$\frac{y}{15} + \frac{x}{10} + \frac{18}{12} = \frac{33}{10}$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными. Упростим её. Сначала вычислим время на ровных участках: $\frac{18}{12} = \frac{3}{2}$.

Система уравнений:$\begin{cases} \frac{x}{15} + \frac{y}{10} + \frac{3}{2} = \frac{101}{30} \\ \frac{x}{10} + \frac{y}{15} + \frac{3}{2} = \frac{33}{10} \end{cases}$

Перенесем постоянный член $\frac{3}{2}$ в правую часть каждого уравнения:

1) $\frac{x}{15} + \frac{y}{10} = \frac{101}{30} - \frac{3}{2} = \frac{101}{30} - \frac{45}{30} = \frac{56}{30} = \frac{28}{15}$

2) $\frac{x}{10} + \frac{y}{15} = \frac{33}{10} - \frac{3}{2} = \frac{33}{10} - \frac{15}{10} = \frac{18}{10} = \frac{9}{5}$

Получили упрощенную систему:$\begin{cases} \frac{x}{15} + \frac{y}{10} = \frac{28}{15} \\ \frac{x}{10} + \frac{y}{15} = \frac{9}{5} \end{cases}$

Чтобы избавиться от дробей, умножим оба уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей (15, 10, 5), то есть на 30:

$\begin{cases} 30 \cdot (\frac{x}{15} + \frac{y}{10}) = 30 \cdot \frac{28}{15} \\ 30 \cdot (\frac{x}{10} + \frac{y}{15}) = 30 \cdot \frac{9}{5} \end{cases}$

$\begin{cases} 2x + 3y = 56 \\ 3x + 2y = 54 \end{cases}$

Решим эту систему. Умножим первое уравнение на 3, а второе на 2, чтобы уравнять коэффициенты при $x$:

$\begin{cases} 6x + 9y = 168 \\ 6x + 4y = 108 \end{cases}$

Вычтем второе уравнение из первого:$(6x + 9y) - (6x + 4y) = 168 - 108$$5y = 60$$y = 12$

Теперь подставим значение $y=12$ в уравнение $2x + 3y = 56$:$2x + 3 \cdot 12 = 56$$2x + 36 = 56$$2x = 56 - 36$$2x = 20$$x = 10$

Таким образом, общая длина спусков на пути из А в В составляет 10 км, а общая длина подъёмов — 12 км.

Чтобы найти общую длину дороги между городами А и В, нужно сложить длины всех участков: спусков, подъёмов и ровных участков.

Длина дороги = $x + y + 18 = 10 + 12 + 18 = 40$ км.

Ответ: 40 км.