Страница 73 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Мерзляк, Полонский

8. Решите уравнение:

1) $(8x - 3)(8x + 3) - 16x(4x - 3) = 15;$

Решение.

Ответ:

2) $(1,7x - 5)(1,7x + 5) - (1,5x + 6)(1,5x - 6) = 0,2x(3,2x - 1).$

1) $(8x - 3)(8x + 3) - 16x(4x - 3) = 15$

Для решения уравнения раскроем скобки. Первое произведение представляет собой формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.

$( (8x)^2 - 3^2 ) - (16x \cdot 4x - 16x \cdot 3) = 15$

$64x^2 - 9 - (64x^2 - 48x) = 15$

Раскроем вторые скобки. Так как перед ними стоит знак минус, знаки слагаемых внутри скобок изменятся на противоположные.

$64x^2 - 9 - 64x^2 + 48x = 15$

Приведем подобные слагаемые.

$(64x^2 - 64x^2) + 48x - 9 = 15$

$48x - 9 = 15$

Перенесем число $-9$ в правую часть уравнения с противоположным знаком.

$48x = 15 + 9$

$48x = 24$

Найдем $x$.

$x = \frac{24}{48}$

$x = 0,5$

Ответ: $0,5$

2) $(1,7x - 5)(1,7x + 5) - (1,5x + 6)(1,5x - 6) = 0,2x(3,2x - 1)$

В левой части уравнения дважды применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$. В правой части раскроем скобки.

$((1,7x)^2 - 5^2) - ((1,5x)^2 - 6^2) = 0,2x \cdot 3,2x - 0,2x \cdot 1$

$(2,89x^2 - 25) - (2,25x^2 - 36) = 0,64x^2 - 0,2x$

Раскроем скобки в левой части уравнения.

$2,89x^2 - 25 - 2,25x^2 + 36 = 0,64x^2 - 0,2x$

Приведем подобные слагаемые в левой части.

$(2,89x^2 - 2,25x^2) + (-25 + 36) = 0,64x^2 - 0,2x$

$0,64x^2 + 11 = 0,64x^2 - 0,2x$

Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены - в правую часть уравнения, меняя их знаки на противоположные.

$0,64x^2 - 0,64x^2 + 0,2x = -11$

Взаимно уничтожим слагаемые $0,64x^2$ и $-0,64x^2$.

$0,2x = -11$

Найдем $x$.

$x = \frac{-11}{0,2}$

$x = -55$

Ответ: $-55$

9. Докажите, что при любом натуральном $n$ значение выражения $(13n - 24)(13n + 24) - (12n - 26)(12n + 26)$ делится нацело на 25.

Решение.

Упростим данное выражение:

$(13n - 24)(13n + 24) - (12n - 26)(12n + 26) = $

Решение.

Чтобы доказать, что значение выражения делится нацело на 25 при любом натуральном $n$, необходимо упростить данное выражение. Для этого воспользуемся формулой сокращенного умножения "разность квадратов": $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Применим эту формулу к обеим частям выражения:

$(13n - 24)(13n + 24) - (12n - 26)(12n + 26) = ((13n)^2 - 24^2) - ((12n)^2 - 26^2)$

Теперь возведем числа в квадрат и раскроем скобки:

$(169n^2 - 576) - (144n^2 - 676) = 169n^2 - 576 - 144n^2 + 676$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(169n^2 - 144n^2) + (676 - 576) = 25n^2 + 100$

Вынесем общий множитель 25 за скобки:

$25(n^2 + 4)$

По условию задачи, $n$ является натуральным числом, то есть $n \in \{1, 2, 3, \dots\}$. Это означает, что $n^2$ также является натуральным числом, а выражение в скобках $(n^2 + 4)$ — целым (и даже натуральным) числом. Обозначим $k = n^2 + 4$, где $k$ — целое число.

Тогда исходное выражение равно $25k$. Произведение любого целого числа $k$ на 25 всегда делится нацело на 25. Таким образом, мы доказали, что исходное выражение делится на 25 при любом натуральном $n$.

Ответ: Утверждение доказано. После упрощения выражение принимает вид $25(n^2+4)$, которое при любом натуральном $n$ делится нацело на 25, так как один из его множителей равен 25, а второй, $(n^2+4)$, является целым числом.

8. За 3 одинаковых больших и 5 одинаковых маленьких пицц Буратино заплатил 70 сольдо. Если бы большая пицца стоила на 20% больше, а маленькая – на 25% меньше, то за 4 больших и 7 маленьких пицц ему надо было бы заплатить 90 сольдо. Сколько сольдо стоит большая пицца и сколько сольдо – маленькая?

Решение.

Пусть большая пицца стоит $x$ сольдо, а маленькая – $y$ сольдо.

Если бы большая пицца стоила на 20% больше, то её цена составляла бы $120 \\%$ нынешней цены, или $1.2x$ сольдо.

Если бы маленькая пицца стоила на 25% меньше, то её цена составляла бы $75 \\%$ нынешней цены, или $0.75y$ сольдо.

Решение.

Пусть цена большой пиццы составляет $x$ сольдо, а цена маленькой пиццы — $y$ сольдо.

Согласно первому условию, за 3 одинаковых больших и 5 одинаковых маленьких пицц Буратино заплатил 70 сольдо. На основе этого мы можем составить первое уравнение:

$3x + 5y = 70$

Далее, рассмотрим второе условие. Если бы цена большой пиццы увеличилась на 20%, то ее новая стоимость составила бы $100\% + 20\% = 120\%$ от первоначальной, то есть:

$x + 0.20x = 1.2x$ сольдо.

Если бы цена маленькой пиццы уменьшилась на 25%, ее новая стоимость составила бы $100\% - 25\% = 75\%$ от первоначальной, то есть:

$y - 0.25y = 0.75y$ сольдо.

По этим новым ценам за 4 большие и 7 маленьких пицц пришлось бы заплатить 90 сольдо. Составим второе уравнение:

$4 \cdot (1.2x) + 7 \cdot (0.75y) = 90$

Упростим второе уравнение:

$4.8x + 5.25y = 90$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:

$\begin{cases} 3x + 5y = 70 \\ 4.8x + 5.25y = 90 \end{cases}$

Для удобства решения, умножим второе уравнение на 100, чтобы избавиться от десятичных дробей:

$480x + 525y = 9000$

Разделим обе части этого уравнения на общий делитель 15:

$32x + 35y = 600$

Теперь наша система выглядит так:

$\begin{cases} 3x + 5y = 70 \\ 32x + 35y = 600 \end{cases}$

Решим систему методом сложения. Умножим обе части первого уравнения на 7, чтобы коэффициенты при переменной $y$ совпали:

$7 \cdot (3x + 5y) = 7 \cdot 70$

$21x + 35y = 490$

Теперь вычтем полученное уравнение из второго уравнения системы ($32x + 35y = 600$):

$(32x + 35y) - (21x + 35y) = 600 - 490$

$11x = 110$

$x = \frac{110}{11}$

$x = 10$

Мы нашли, что цена большой пиццы составляет 10 сольдо. Теперь подставим это значение в исходное первое уравнение ($3x + 5y = 70$), чтобы найти цену маленькой пиццы $y$:

$3(10) + 5y = 70$

$30 + 5y = 70$

$5y = 70 - 30$

$5y = 40$

$y = \frac{40}{5}$

$y = 8$

Таким образом, цена маленькой пиццы составляет 8 сольдо.

Ответ: большая пицца стоит 10 сольдо, а маленькая — 8 сольдо.