Страница 71 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Мерзляк, Полонский

7. Разложите на множители трёхчлен, представив предварительно один из его членов в виде суммы подобных слагаемых:

1) $x^2 - 10x + 21;$ 2) $x^2 - 6x - 7;$ 3) $x^2 + 2x - 48.$

Решение.

1) Представив слагаемое $-10x$ в виде суммы одночленов $-3x$ и $-7x$, применим метод группировки:

$x^2 - 10x + 21 = x^2 - 3x - 7x + 21 =$

1) В данном трёхчлене $x^2 - 10x + 21$ уже предложено представить средний член $-10x$ в виде суммы $-3x - 7x$. Это верный шаг, так как сумма коэффициентов $(-3) + (-7) = -10$, а их произведение $(-3) \cdot (-7) = 21$ (свободный член). Применим метод группировки:
$x^2 - 10x + 21 = x^2 - 3x - 7x + 21 = (x^2 - 3x) + (-7x + 21) = x(x - 3) - 7(x - 3) = (x - 3)(x - 7)$.
Ответ: $(x - 3)(x - 7)$.

2) Для разложения трёхчлена $x^2 - 6x - 7$ на множители, представим средний член $-6x$ в виде суммы. Для этого найдём два числа, сумма которых равна $-6$, а произведение равно $-7$. Этими числами являются $1$ и $-7$.
Представим $-6x$ как $x - 7x$ и применим метод группировки:
$x^2 - 6x - 7 = x^2 + x - 7x - 7 = (x^2 + x) + (-7x - 7) = x(x + 1) - 7(x + 1) = (x + 1)(x - 7)$.
Ответ: $(x + 1)(x - 7)$.

3) Для разложения трёхчлена $x^2 + 2x - 48$ на множители, представим средний член $2x$ в виде суммы. Найдём два числа, сумма которых равна $2$, а произведение равно $-48$. Этими числами являются $8$ и $-6$.
Представим $2x$ как $8x - 6x$ и применим метод группировки:
$x^2 + 2x - 48 = x^2 + 8x - 6x - 48 = (x^2 + 8x) + (-6x - 48) = x(x + 8) - 6(x + 8) = (x + 8)(x - 6)$.
Ответ: $(x + 8)(x - 6)$.

1. Заполните пропуски.

1) Произведение разности двух выражений и их суммы равно

2) Имеет место тождество $ (a - b)(a + b) = $

1) Это утверждение описывает одну из основных формул сокращенного умножения, известную как "разность квадратов". Чтобы заполнить пропуск, давайте рассмотрим два произвольных выражения, которые мы обозначим как a и b.
Их разность записывается как $a-b$.
Их сумма записывается как $a+b$.
Произведение их разности и суммы будет выглядеть так: $(a-b)(a+b)$.
Раскроем скобки, перемножив каждый член первого выражения на каждый член второго:
$(a-b)(a+b) = a \cdot a + a \cdot b - b \cdot a - b \cdot b = a^2 + ab - ab - b^2$
Приведя подобные слагаемые ($ab$ и $-ab$ взаимно уничтожаются), получаем:
$a^2 - b^2$
Это выражение называется "разность квадратов". Таким образом, произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.
Ответ: разности квадратов этих выражений.

2) Данное выражение является тождеством, то есть равенством, верным при любых значениях входящих в него переменных. Это алгебраическая запись правила "разности квадратов". Чтобы найти правую часть тождества, необходимо выполнить умножение многочленов $(a-b)$ и $(a+b)$.
Используем правило дистрибутивности (раскрытие скобок):
$(a-b)(a+b) = a \cdot (a+b) - b \cdot (a+b)$
$a \cdot a + a \cdot b - b \cdot a - b \cdot b$
$a^2 + ab - ba - b^2$
Поскольку умножение коммутативно ($ab = ba$), мы можем упростить выражение:
$a^2 + ab - ab - b^2 = a^2 - b^2$
Таким образом, тождество имеет вид: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.
Ответ: $a^2 - b^2$.

2. Выполните умножение:

1) $(c - 8)(c + 8) = $

2) $(2ab + 3)(2ab - 3) = (2ab)^2 - 3^2 = $

3) $(5x - 7y^2)(5x + 7y^2) = $

4) $(a^4 + b^3)(b^3 - a^4) = (b^3 + a^4)(b^3 - a^4) = (b^3)^2 - (a^4)^2 = $

5) $(6m^2 - 11p^5)(11p^5 + 6m^2) = $

6) $(-9xy - z)(9xy - z) = $

1) Для решения данного примера воспользуемся формулой сокращенного умножения, а именно формулой разности квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$. В нашем случае $a = c$ и $b = 8$.

Подставляем наши значения в формулу:

$(c - 8)(c + 8) = c^2 - 8^2 = c^2 - 64$

Ответ: $c^2 - 64$

2) Здесь также применяется формула разности квадратов $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$. В этом примере $a = 2ab$ и $b = 3$.

Следуя подсказке в задании, возводим каждое слагаемое в квадрат:

$(2ab + 3)(2ab - 3) = (2ab)^2 - 3^2 = 2^2a^2b^2 - 9 = 4a^2b^2 - 9$

Ответ: $4a^2b^2 - 9$

3) Используем ту же формулу разности квадратов. Здесь $a = 5x$ и $b = 7y^2$.

Выполняем умножение:

$(5x - 7y^2)(5x + 7y^2) = (5x)^2 - (7y^2)^2 = 25x^2 - 49y^4$

Ответ: $25x^2 - 49y^4$

4) В этом примере для удобства сначала поменяем множители местами и переставим слагаемые в первой скобке, чтобы выражение соответствовало стандартному виду формулы разности квадратов: $(a^4 + b^3)(b^3 - a^4) = (b^3 + a^4)(b^3 - a^4)$.

Теперь мы видим, что $a = b^3$ и $b = a^4$. Применяем формулу:

$(b^3 + a^4)(b^3 - a^4) = (b^3)^2 - (a^4)^2 = b^{3 \cdot 2} - a^{4 \cdot 2} = b^6 - a^8$

Ответ: $b^6 - a^8$

5) Чтобы применить формулу разности квадратов, переставим слагаемые во второй скобке: $(6m^2 - 11p^5)(11p^5 + 6m^2) = (6m^2 - 11p^5)(6m^2 + 11p^5)$.

Теперь видно, что $a = 6m^2$ и $b = 11p^5$.

$(6m^2 - 11p^5)(6m^2 + 11p^5) = (6m^2)^2 - (11p^5)^2 = 36m^4 - 121p^{10}$

Ответ: $36m^4 - 121p^{10}$

6) В данном выражении $(-9xy - z)(9xy - z)$ удобно перегруппировать слагаемые, чтобы использовать формулу разности квадратов. Представим выражение в виде: $(-z - 9xy)(-z + 9xy)$.

Это соответствует формуле $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$, где $a = -z$ и $b = 9xy$.

Выполним вычисления:

$(-z - 9xy)(-z + 9xy) = (-z)^2 - (9xy)^2 = z^2 - 81x^2y^2$

Ответ: $z^2 - 81x^2y^2$

6. Из одного города одновременно по одной дороге выехали грузовой и легковой автомобили. Через 4,5 ч после начала движения расстояние между ними было 63 км. Если бы они выехали в противоположных направлениях, то через 2,5 ч расстояние между ними составило бы 325 км. Найдите скорость каждого автомобиля.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $v_л$ — скорость легкового автомобиля в км/ч, а $v_г$ — скорость грузового автомобиля в км/ч.

1. Анализ первого условия: движение в одном направлении.
Когда автомобили выезжают из одного города в одном направлении, расстояние между ними увеличивается со скоростью, равной разности их скоростей (при условии, что скорости не равны). Эту скорость называют скоростью удаления. Предположим, что легковой автомобиль едет быстрее, тогда скорость удаления равна $v_л - v_г$.
По условию, за время $t_1 = 4,5$ ч расстояние между автомобилями стало $S_1 = 63$ км.
Используя формулу расстояния $S = v \cdot t$, составим первое уравнение:
$(v_л - v_г) \cdot 4,5 = 63$
Из этого уравнения можно найти разность скоростей:
$v_л - v_г = \frac{63}{4,5} = \frac{630}{45} = 14$

2. Анализ второго условия: движение в противоположных направлениях.
Если бы автомобили выехали в противоположных направлениях, то скорость их взаимного удаления была бы равна сумме их скоростей: $v_л + v_г$.
По условию, в этом случае за время $t_2 = 2,5$ ч расстояние между ними составило бы $S_2 = 325$ км.
Составим второе уравнение:
$(v_л + v_г) \cdot 2,5 = 325$
Теперь найдем сумму скоростей:
$v_л + v_г = \frac{325}{2,5} = \frac{3250}{25} = 130$

3. Решение системы уравнений.
Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными $v_л$ и $v_г$:

$ \begin{cases} v_л - v_г = 14 \\ v_л + v_г = 130 \end{cases} $

Сложим первое и второе уравнения, чтобы найти скорость легкового автомобиля:
$(v_л - v_г) + (v_л + v_г) = 14 + 130$
$2v_л = 144$
$v_л = \frac{144}{2} = 72$ (км/ч).

Теперь подставим найденное значение $v_л$ во второе уравнение ($v_л + v_г = 130$), чтобы найти скорость грузового автомобиля:
$72 + v_г = 130$
$v_г = 130 - 72$
$v_г = 58$ (км/ч).

Таким образом, скорость легкового автомобиля составляет 72 км/ч, а скорость грузового автомобиля — 58 км/ч.
Ответ: скорость грузового автомобиля — 58 км/ч, скорость легкового автомобиля — 72 км/ч.