Страница 66 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Мерзляк, Полонский

7. Вынесите за скобки общий множитель:

1) $(3x - 24)^2 = (3(x - 8))^2 = $

2) $(-5x^2 - 35x^4)^2 = (-5x^2($

3) $(2x - 10)^5 = $

4) $(4a^2 + 8ab)^2 = $

1) Исходное выражение: $(3x - 24)^2$.
Основная задача — вынести общий множитель за скобки внутри выражения, которое возводится в степень. Для выражения $(3x - 24)$ общим множителем является число $3$, так как $3x = 3 \cdot x$ и $24 = 3 \cdot 8$.
Выносим $3$ за скобку: $3x - 24 = 3(x - 8)$.
Теперь подставляем полученное выражение обратно в исходное:
$(3x - 24)^2 = (3(x - 8))^2$.
Используем свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$. В нашем случае $a=3$, $b=(x-8)$ и $n=2$.
$(3(x - 8))^2 = 3^2 \cdot (x - 8)^2 = 9(x - 8)^2$.
Ответ: $9(x - 8)^2$.

2) Исходное выражение: $(-5x^2 - 35x^4)^2$.
Сначала найдем общий множитель для членов в скобках: $-5x^2$ и $-35x^4$.
Коэффициенты $-5$ и $-35$ делятся на $-5$.
Переменные $x^2$ и $x^4$ имеют общую часть $x^2$ (младшая степень).
Таким образом, общий множитель равен $-5x^2$.
Выносим его за скобку: $-5x^2 - 35x^4 = -5x^2(1 + 7x^2)$.
Подставляем в исходное выражение:
$(-5x^2 - 35x^4)^2 = (-5x^2(1 + 7x^2))^2$.
Применяем свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$:
$(-5x^2(1 + 7x^2))^2 = (-5x^2)^2 \cdot (1 + 7x^2)^2$.
Возводим в квадрат первый множитель: $(-5x^2)^2 = (-5)^2 \cdot (x^2)^2 = 25x^4$.
Окончательный результат:
$25x^4(1 + 7x^2)^2$.
Ответ: $25x^4(1 + 7x^2)^2$.

3) Исходное выражение: $(2x - 10)^5$.
Находим общий множитель для выражения в скобках $(2x - 10)$.
Общий множитель для $2x$ и $10$ — это $2$.
Выносим $2$ за скобку: $2x - 10 = 2(x - 5)$.
Подставляем в исходное выражение:
$(2x - 10)^5 = (2(x - 5))^5$.
Используем свойство $(ab)^n = a^n b^n$:
$(2(x - 5))^5 = 2^5 \cdot (x - 5)^5$.
Вычисляем $2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$.
Получаем окончательное выражение:
$32(x - 5)^5$.
Ответ: $32(x - 5)^5$.

4) Исходное выражение: $(4a^2 + 8ab)^2$.
Находим общий множитель для выражения в скобках $(4a^2 + 8ab)$.
Для коэффициентов $4$ и $8$ общий множитель равен $4$.
Для переменных $a^2$ и $ab$ общий множитель равен $a$.
Следовательно, общий множитель всего выражения равен $4a$.
Выносим $4a$ за скобку: $4a^2 + 8ab = 4a(a + 2b)$.
Подставляем в исходное выражение:
$(4a^2 + 8ab)^2 = (4a(a + 2b))^2$.
Применяем свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$:
$(4a(a + 2b))^2 = (4a)^2 \cdot (a + 2b)^2$.
Возводим в квадрат первый множитель: $(4a)^2 = 4^2 \cdot a^2 = 16a^2$.
Окончательный результат:
$16a^2(a + 2b)^2$.
Ответ: $16a^2(a + 2b)^2$.

10. Решите систему уравнений:

$1) \begin{cases} \frac{3}{x} + \frac{14}{y} = -30, \\ \frac{7}{x} + \frac{4}{y} = 16; \end{cases}$

Решение.

Обозначим $\frac{1}{x} = a, \frac{1}{y} = b$. Тогда данная система примет вид

$2) \begin{cases} \frac{9}{x - 3y} + \frac{55}{2x + 4y} = 8, \\ \frac{12}{x - 3y} - \frac{11}{2x + 4y} = 3. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \frac{3}{x} + \frac{14}{y} = -30 \\ \frac{7}{x} + \frac{4}{y} = 16 \end{cases} $$ Для решения этой системы удобно ввести новые переменные. Пусть $a = \frac{1}{x}$ и $b = \frac{1}{y}$. Тогда исходная система уравнений преобразуется в линейную систему относительно $a$ и $b$: $$ \begin{cases} 3a + 14b = -30 \\ 7a + 4b = 16 \end{cases} $$ Решим эту систему методом алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 2, а второе на -7, чтобы коэффициенты при переменной $b$ стали противоположными числами: $$ \begin{cases} 2 \cdot (3a + 14b) = 2 \cdot (-30) \\ -7 \cdot (7a + 4b) = -7 \cdot 16 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} 6a + 28b = -60 \\ -49a - 28b = -112 \end{cases} $$ Теперь сложим два уравнения почленно: $$(6a + 28b) + (-49a - 28b) = -60 + (-112)$$ $$6a - 49a = -172$$ $$-43a = -172$$ $$a = \frac{-172}{-43} = 4$$ Подставим найденное значение $a=4$ во второе уравнение системы для $a$ и $b$ ($7a + 4b = 16$): $$7(4) + 4b = 16$$ $$28 + 4b = 16$$ $$4b = 16 - 28$$ $$4b = -12$$ $$b = \frac{-12}{4} = -3$$ Теперь, зная значения $a$ и $b$, вернемся к исходным переменным $x$ и $y$.
Поскольку $a = \frac{1}{x}$, то $4 = \frac{1}{x}$, откуда следует, что $x = \frac{1}{4}$.
Поскольку $b = \frac{1}{y}$, то $-3 = \frac{1}{y}$, откуда следует, что $y = -\frac{1}{3}$.

Ответ: $(\frac{1}{4}; -\frac{1}{3})$

2)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \frac{9}{x - 3y} + \frac{55}{2x + 4y} = 8 \\ \frac{12}{x - 3y} - \frac{11}{2x + 4y} = 3 \end{cases} $$ Введем новые переменные. Пусть $a = \frac{1}{x - 3y}$ и $b = \frac{1}{2x + 4y}$. Тогда система примет вид: $$ \begin{cases} 9a + 55b = 8 \\ 12a - 11b = 3 \end{cases} $$ Решим эту систему методом сложения. Умножим второе уравнение на 5, чтобы коэффициенты при $b$ стали противоположными: $$ \begin{cases} 9a + 55b = 8 \\ 5 \cdot (12a - 11b) = 5 \cdot 3 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} 9a + 55b = 8 \\ 60a - 55b = 15 \end{cases} $$ Сложим два уравнения: $$(9a + 55b) + (60a - 55b) = 8 + 15$$ $$69a = 23$$ $$a = \frac{23}{69} = \frac{1}{3}$$ Подставим $a = \frac{1}{3}$ во второе уравнение системы для $a$ и $b$ ($12a - 11b = 3$): $$12\left(\frac{1}{3}\right) - 11b = 3$$ $$4 - 11b = 3$$ $$-11b = 3 - 4$$ $$-11b = -1$$ $$b = \frac{-1}{-11} = \frac{1}{11}$$ Теперь вернемся к переменным $x$ и $y$. Мы получили новую систему: $$ \begin{cases} \frac{1}{x - 3y} = \frac{1}{3} \\ \frac{1}{2x + 4y} = \frac{1}{11} \end{cases} $$ Что эквивалентно: $$ \begin{cases} x - 3y = 3 \\ 2x + 4y = 11 \end{cases} $$ Решим эту систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим $x$: $x = 3 + 3y$.
Подставим это выражение во второе уравнение: $$2(3 + 3y) + 4y = 11$$ $$6 + 6y + 4y = 11$$ $$10y = 11 - 6$$ $$10y = 5$$ $$y = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$$ Теперь найдем $x$, подставив значение $y$ в выражение для $x$: $$x = 3 + 3y = 3 + 3\left(\frac{1}{2}\right) = 3 + \frac{3}{2} = \frac{6}{2} + \frac{3}{2} = \frac{9}{2}$$

Ответ: $(\frac{9}{2}; \frac{1}{2})$