Страница 62 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Мерзляк, Полонский

14. Остаток при делении натурального числа x на 12 равен 3, а остаток при делении натурального числа y на 12 равен 4. Докажите, что произведение чисел x и y делится нацело на 12.

Решение.

Пусть неполное частное при делении числа x на 12 равно m, а при делении числа y на 12 равно n. Тогда $x = 12m + 3$, $y = 12n + 4$

Найдём произведение чисел x и y:

$xy = (12m + 3)(12n + 4) = $

Решение.

По условию задачи, остаток при делении натурального числа $x$ на 12 равен 3. Согласно определению деления с остатком, это означает, что число $x$ можно представить в виде:

$x = 12m + 3$

где $m$ — неполное частное (целое неотрицательное число).

Аналогично, остаток при делении натурального числа $y$ на 12 равен 4. Это означает, что число $y$ можно представить в виде:

$y = 12n + 4$

где $n$ — неполное частное (целое неотрицательное число).

Найдём произведение чисел $x$ и $y$:

Для этого перемножим полученные выражения для $x$ и $y$:

$xy = (12m + 3)(12n + 4)$

Раскроем скобки, используя правило умножения многочленов (каждый член первого многочлена умножается на каждый член второго):

$xy = 12m \cdot 12n + 12m \cdot 4 + 3 \cdot 12n + 3 \cdot 4$

$xy = 144mn + 48m + 36n + 12$

Чтобы доказать, что произведение $xy$ делится нацело на 12, необходимо показать, что оно является кратным 12. Для этого вынесем общий множитель 12 за скобки в полученном выражении:

$xy = 12(12mn + 4m + 3n + 1)$

Поскольку $m$ и $n$ являются целыми числами (как неполные частные), то и выражение в скобках, $12mn + 4m + 3n + 1$, также является целым числом. Обозначим это целое число буквой $k$:

$k = 12mn + 4m + 3n + 1$

Тогда произведение $xy$ можно записать в виде:

$xy = 12k$

Это равенство по определению означает, что произведение $xy$ делится на 12 нацело, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

15. Остаток при делении натурального числа $a$ на 15 равен 2, а остаток при делении натурального числа $b$ на 15 равен 12. Чему равен остаток при делении произведения чисел $a$ и $b$ на 15?

По условию задачи, остаток от деления натурального числа $a$ на 15 равен 2. Это означает, что число $a$ можно представить в виде: $a = 15k + 2$, где $k$ — некоторое целое неотрицательное число (частное от деления).

Аналогично, остаток от деления натурального числа $b$ на 15 равен 12. Это можно записать как: $b = 15m + 12$, где $m$ — некоторое целое неотрицательное число.

Чтобы найти остаток от деления произведения $ab$ на 15, нужно найти это произведение, используя записанные выше выражения для $a$ и $b$: $ab = (15k + 2)(15m + 12)$

Раскроем скобки, перемножив выражения: $ab = 15k \cdot 15m + 15k \cdot 12 + 2 \cdot 15m + 2 \cdot 12$ $ab = 225km + 180k + 30m + 24$

Теперь сгруппируем слагаемые. Заметим, что первые три слагаемых делятся на 15 без остатка. Вынесем 15 за скобки в этих слагаемых: $ab = 15 \cdot (15km) + 15 \cdot (12k) + 15 \cdot (2m) + 24$ $ab = 15(15km + 12k + 2m) + 24$

Пусть выражение в скобках $15km + 12k + 2m = Q$. Тогда $Q$ является целым числом, и выражение для произведения $ab$ принимает вид: $ab = 15Q + 24$

Эта запись показывает, что остаток от деления произведения $ab$ на 15 будет таким же, как остаток от деления числа 24 на 15. Найдем этот остаток: $24 \div 15 = 1$ (остаток $9$) Или в виде формулы: $24 = 1 \cdot 15 + 9$.

Следовательно, остаток от деления произведения $ab$ на 15 равен 9.

Ответ: 9

6. Решите систему уравнений

$ \begin{cases} (3x+1)^2 - (3x-y)(3x+y) = (y+6)(y-3)+10, \\ (3x-1)(5y+1) = 5x(3y+2)+1. \end{cases} $

Для решения данной системы уравнений сначала упростим каждое уравнение по отдельности.

Исходная система:

$ \begin{cases} (3x + 1)^2 - (3x - y)(3x + y) = (y + 6)(y - 3) + 10 \\ (3x - 1)(5y + 1) = 5x(3y + 2) + 1 \end{cases} $

1. Упрощение первого уравнения

Рассмотрим первое уравнение: $(3x + 1)^2 - (3x - y)(3x + y) = (y + 6)(y - 3) + 10$.

Раскроем скобки в левой части, используя формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ и разность квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.

$(3x+1)^2 = (3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 1 + 1^2 = 9x^2 + 6x + 1$

$(3x-y)(3x+y) = (3x)^2 - y^2 = 9x^2 - y^2$

Левая часть уравнения принимает вид:

$(9x^2 + 6x + 1) - (9x^2 - y^2) = 9x^2 + 6x + 1 - 9x^2 + y^2 = 6x + y^2 + 1$

Теперь раскроем скобки в правой части уравнения:

$(y + 6)(y - 3) + 10 = y^2 - 3y + 6y - 18 + 10 = y^2 + 3y - 8$

Приравняем упрощенные левую и правую части:

$6x + y^2 + 1 = y^2 + 3y - 8$

Сократим $y^2$ в обеих частях и приведем подобные слагаемые:

$6x + 1 = 3y - 8$

$6x - 3y = -8 - 1$

$6x - 3y = -9$

Разделим обе части уравнения на 3, чтобы упростить его:

$2x - y = -3$

2. Упрощение второго уравнения

Рассмотрим второе уравнение: $(3x - 1)(5y + 1) = 5x(3y + 2) + 1$.

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

Левая часть: $3x \cdot 5y + 3x \cdot 1 - 1 \cdot 5y - 1 \cdot 1 = 15xy + 3x - 5y - 1$

Правая часть: $5x \cdot 3y + 5x \cdot 2 + 1 = 15xy + 10x + 1$

Приравняем обе части:

$15xy + 3x - 5y - 1 = 15xy + 10x + 1$

Сократим $15xy$ в обеих частях:

$3x - 5y - 1 = 10x + 1$

Сгруппируем переменные в одной части, а константы в другой:

$3x - 10x - 5y = 1 + 1$

$-7x - 5y = 2$

Умножим обе части на -1 для удобства:

$7x + 5y = -2$

3. Решение системы линейных уравнений

В результате упрощений мы получили систему двух линейных уравнений:

$ \begin{cases} 2x - y = -3 \\ 7x + 5y = -2 \end{cases} $

Решим эту систему методом подстановки. Выразим $y$ из первого уравнения:

$y = 2x + 3$

Подставим это выражение для $y$ во второе уравнение:

$7x + 5(2x + 3) = -2$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x$:

$7x + 10x + 15 = -2$

$17x = -2 - 15$

$17x = -17$

$x = -1$

Теперь найдем значение $y$, подставив найденное значение $x = -1$ в выражение $y = 2x + 3$:

$y = 2(-1) + 3$

$y = -2 + 3$

$y = 1$

Таким образом, решение системы уравнений: $x = -1, y = 1$.

Ответ: $(-1; 1)$.