Страница 60 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Мерзляк, Полонский

9. Докажите, что при любом натуральном значении $n$ значение выражения $(n+25)(n+3)-(n+6)(n+4)-6$ кратно 9.

Решение.

Упростим данное выражение:

$(n+25)(n+3)-(n+6)(n+4)-6=$

Решение.

Для доказательства утверждения необходимо упростить данное алгебраическое выражение.

Упростим данное выражение:

$(n + 25)(n + 3) - (n + 6)(n + 4) - 6 = $
Первым шагом раскроем скобки, перемножив многочлены:
$= (n^2 + 3n + 25n + 75) - (n^2 + 4n + 6n + 24) - 6 = $
Приведем подобные слагаемые внутри каждой скобки:
$= (n^2 + 28n + 75) - (n^2 + 10n + 24) - 6 = $
Раскроем оставшиеся скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак минус, все знаки внутри нее меняются на противоположные:
$= n^2 + 28n + 75 - n^2 - 10n - 24 - 6 = $
Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые во всем выражении:
$= (n^2 - n^2) + (28n - 10n) + (75 - 24 - 6) = $
$= 0 + 18n + 45 = 18n + 45$.

Мы упростили исходное выражение до вида $18n + 45$. Теперь нужно доказать, что это выражение кратно 9 при любом натуральном $n$. Для этого вынесем общий множитель 9 за скобки:

$18n + 45 = 9 \cdot 2n + 9 \cdot 5 = 9(2n + 5)$.

По условию задачи $n$ является натуральным числом ($n \in \{1, 2, 3, ...\}$). Следовательно, выражение в скобках $(2n + 5)$ всегда будет целым числом. Поскольку полученное выражение $9(2n + 5)$ представляет собой произведение, где один из множителей равен 9, то всё произведение делится на 9 без остатка.

Таким образом, доказано, что значение выражения $(n + 25)(n + 3) - (n + 6)(n + 4) - 6$ кратно 9 при любом натуральном значении $n$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

10. Докажите, что при любом натуральном значении $n$ значение выражения $(n^2 - 7)(n - 6) - (n^2 + 3)(n - 5) + n(n + 48)$ делится нацело на 19.

Решение.

Упростим данное выражение:

$(n^2 - 7)(n - 6) - (n^2 + 3)(n - 5) + n(n + 48) =$

Решение.

Чтобы доказать, что значение выражения делится на 19 при любом натуральном $n$, сперва упростим это выражение.

Упростим данное выражение:

$(n^2 - 7)(n - 6) - (n^2 + 3)(n - 5) + n(n + 48)$

1. Раскроем скобки, перемножая многочлены:

$(n^2 - 7)(n - 6) = n^2 \cdot n - n^2 \cdot 6 - 7 \cdot n - 7 \cdot (-6) = n^3 - 6n^2 - 7n + 42$

$-(n^2 + 3)(n - 5) = -(n^2 \cdot n - n^2 \cdot 5 + 3 \cdot n - 3 \cdot 5) = -(n^3 - 5n^2 + 3n - 15) = -n^3 + 5n^2 - 3n + 15$

$n(n + 48) = n \cdot n + n \cdot 48 = n^2 + 48n$

2. Подставим раскрытые выражения обратно в исходное и сложим их:

$(n^3 - 6n^2 - 7n + 42) + (-n^3 + 5n^2 - 3n + 15) + (n^2 + 48n)$

3. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(n^3 - n^3) + (-6n^2 + 5n^2 + n^2) + (-7n - 3n + 48n) + (42 + 15) = $

$= 0 \cdot n^3 + 0 \cdot n^2 + 38n + 57 = 38n + 57$

4. Мы упростили выражение до $38n + 57$. Теперь докажем, что оно делится на 19. Для этого вынесем общий множитель за скобки.

$38n + 57 = 19 \cdot 2n + 19 \cdot 3 = 19(2n + 3)$

Поскольку $n$ по условию является натуральным числом, то $2n$ — это натуральное четное число, а $(2n + 3)$ — натуральное нечетное число (так как $n \geq 1$, то $2n+3 \geq 5$). Таким образом, выражение $19(2n + 3)$ представляет собой произведение числа 19 и натурального числа $(2n + 3)$. Любое число, которое является произведением 19 и целого числа, делится на 19 нацело.

Следовательно, значение исходного выражения делится на 19 при любом натуральном $n$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.