Номер 10, страница 60 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Параграф 11. Умножение многочлена на многочлен. Глава 2. Целые выражения. Рабочая тетрадь 1 - номер 10, страница 60.

Условие.

10. Докажите, что при любом натуральном значении $n$ значение выражения $(n^2 - 7)(n - 6) - (n^2 + 3)(n - 5) + n(n + 48)$ делится нацело на 19.

Решение.

Упростим данное выражение:

$(n^2 - 7)(n - 6) - (n^2 + 3)(n - 5) + n(n + 48) =$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение.

Чтобы доказать, что значение выражения делится на 19 при любом натуральном $n$, сперва упростим это выражение.

Упростим данное выражение:

$(n^2 - 7)(n - 6) - (n^2 + 3)(n - 5) + n(n + 48)$

1. Раскроем скобки, перемножая многочлены:

$(n^2 - 7)(n - 6) = n^2 \cdot n - n^2 \cdot 6 - 7 \cdot n - 7 \cdot (-6) = n^3 - 6n^2 - 7n + 42$

$-(n^2 + 3)(n - 5) = -(n^2 \cdot n - n^2 \cdot 5 + 3 \cdot n - 3 \cdot 5) = -(n^3 - 5n^2 + 3n - 15) = -n^3 + 5n^2 - 3n + 15$

$n(n + 48) = n \cdot n + n \cdot 48 = n^2 + 48n$

2. Подставим раскрытые выражения обратно в исходное и сложим их:

$(n^3 - 6n^2 - 7n + 42) + (-n^3 + 5n^2 - 3n + 15) + (n^2 + 48n)$

3. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(n^3 - n^3) + (-6n^2 + 5n^2 + n^2) + (-7n - 3n + 48n) + (42 + 15) = $

$= 0 \cdot n^3 + 0 \cdot n^2 + 38n + 57 = 38n + 57$

4. Мы упростили выражение до $38n + 57$. Теперь докажем, что оно делится на 19. Для этого вынесем общий множитель за скобки.

$38n + 57 = 19 \cdot 2n + 19 \cdot 3 = 19(2n + 3)$

Поскольку $n$ по условию является натуральным числом, то $2n$ — это натуральное четное число, а $(2n + 3)$ — натуральное нечетное число (так как $n \geq 1$, то $2n+3 \geq 5$). Таким образом, выражение $19(2n + 3)$ представляет собой произведение числа 19 и натурального числа $(2n + 3)$. Любое число, которое является произведением 19 и целого числа, делится на 19 нацело.

Следовательно, значение исходного выражения делится на 19 при любом натуральном $n$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.