Номер 3, страница 56 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Параграф 11. Умножение многочлена на многочлен. Глава 2. Целые выражения. Рабочая тетрадь 1 - номер 3, страница 56.

Условие.

3. Упростите выражение:

1) $(x + 2)(x + 3) - 3x(2 - x) =$

2) $(a + 4)(a - 3) + (a - 5)(a + 7) =$

3) $(c - 8)(2c - 1) - (3c + 5)(c - 7) =$

4) $(4m - n)(4m + 3n) - (2m - 9n)(8m + n) =$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) $(x+2)(x+3) - 3x(2-x)$

Для упрощения данного выражения необходимо раскрыть скобки и привести подобные слагаемые. Раскроем произведение двух многочленов $(x+2)(x+3)$ по правилу умножения многочлена на многочлен (каждый член первого многочлена умножается на каждый член второго):

$(x+2)(x+3) = x \cdot x + x \cdot 3 + 2 \cdot x + 2 \cdot 3 = x^2 + 3x + 2x + 6$.

Приводим подобные слагаемые в полученном выражении: $x^2 + (3x + 2x) + 6 = x^2 + 5x + 6$.

Далее раскроем вторую часть выражения, умножив одночлен $-3x$ на многочлен $(2-x)$:

$-3x(2-x) = (-3x) \cdot 2 + (-3x) \cdot (-x) = -6x + 3x^2$.

Теперь подставим полученные выражения в исходное и объединим их:

$(x^2 + 5x + 6) + (-6x + 3x^2) = x^2 + 5x + 6 - 6x + 3x^2$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые (члены с одинаковой переменной в одинаковой степени):

$(x^2 + 3x^2) + (5x - 6x) + 6 = 4x^2 - x + 6$.

Ответ: $4x^2 - x + 6$.

2) $(a+4)(a-3) + (a-5)(a+7)$

Упростим выражение, последовательно раскрыв скобки в каждом произведении и приведя подобные слагаемые.

Сначала раскроем первую пару скобок:

$(a+4)(a-3) = a \cdot a + a \cdot (-3) + 4 \cdot a + 4 \cdot (-3) = a^2 - 3a + 4a - 12 = a^2 + a - 12$.

Затем раскроем вторую пару скобок:

$(a-5)(a+7) = a \cdot a + a \cdot 7 - 5 \cdot a - 5 \cdot 7 = a^2 + 7a - 5a - 35 = a^2 + 2a - 35$.

Теперь сложим полученные многочлены:

$(a^2 + a - 12) + (a^2 + 2a - 35) = a^2 + a - 12 + a^2 + 2a - 35$.

Сгруппируем и приведем подобные члены:

$(a^2 + a^2) + (a + 2a) + (-12 - 35) = 2a^2 + 3a - 47$.

Ответ: $2a^2 + 3a - 47$.

3) $(c-8)(2c-1) - (3c+5)(c-7)$

Для упрощения этого выражения также раскроем скобки и приведем подобные.

Раскрываем первую пару скобок:

$(c-8)(2c-1) = c \cdot 2c + c \cdot (-1) - 8 \cdot 2c - 8 \cdot (-1) = 2c^2 - c - 16c + 8 = 2c^2 - 17c + 8$.

Раскрываем вторую пару скобок:

$(3c+5)(c-7) = 3c \cdot c + 3c \cdot (-7) + 5 \cdot c + 5 \cdot (-7) = 3c^2 - 21c + 5c - 35 = 3c^2 - 16c - 35$.

Теперь вычтем второй результат из первого. Важно помнить, что знак "минус" перед скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри нее на противоположные:

$(2c^2 - 17c + 8) - (3c^2 - 16c - 35) = 2c^2 - 17c + 8 - 3c^2 + 16c - (-35) = 2c^2 - 17c + 8 - 3c^2 + 16c + 35$.

Группируем и приводим подобные:

$(2c^2 - 3c^2) + (-17c + 16c) + (8 + 35) = -c^2 - c + 43$.

Ответ: $-c^2 - c + 43$.

4) $(4m-n)(4m+3n) - (2m-9n)(8m+n)$

Упростим последнее выражение. План действий тот же: раскрытие скобок и приведение подобных.

Раскроем произведение первых двух скобок:

$(4m-n)(4m+3n) = 4m \cdot 4m + 4m \cdot 3n - n \cdot 4m - n \cdot 3n = 16m^2 + 12mn - 4mn - 3n^2 = 16m^2 + 8mn - 3n^2$.

Раскроем произведение вторых двух скобок:

$(2m-9n)(8m+n) = 2m \cdot 8m + 2m \cdot n - 9n \cdot 8m - 9n \cdot n = 16m^2 + 2mn - 72mn - 9n^2 = 16m^2 - 70mn - 9n^2$.

Теперь выполним вычитание. Знак "минус" перед вторым произведением меняет знаки всех его членов при раскрытии скобок:

$(16m^2 + 8mn - 3n^2) - (16m^2 - 70mn - 9n^2) = 16m^2 + 8mn - 3n^2 - 16m^2 + 70mn + 9n^2$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(16m^2 - 16m^2) + (8mn + 70mn) + (-3n^2 + 9n^2) = 0 + 78mn + 6n^2 = 6n^2 + 78mn$.

Ответ: $6n^2 + 78mn$.