Номер 9, страница 60 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Параграф 11. Умножение многочлена на многочлен. Глава 2. Целые выражения. Рабочая тетрадь 1 - номер 9, страница 60.

Условие.

9. Докажите, что при любом натуральном значении $n$ значение выражения $(n+25)(n+3)-(n+6)(n+4)-6$ кратно 9.

Решение.

Упростим данное выражение:

$(n+25)(n+3)-(n+6)(n+4)-6=$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение.

Для доказательства утверждения необходимо упростить данное алгебраическое выражение.

Упростим данное выражение:

$(n + 25)(n + 3) - (n + 6)(n + 4) - 6 = $
Первым шагом раскроем скобки, перемножив многочлены:
$= (n^2 + 3n + 25n + 75) - (n^2 + 4n + 6n + 24) - 6 = $
Приведем подобные слагаемые внутри каждой скобки:
$= (n^2 + 28n + 75) - (n^2 + 10n + 24) - 6 = $
Раскроем оставшиеся скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак минус, все знаки внутри нее меняются на противоположные:
$= n^2 + 28n + 75 - n^2 - 10n - 24 - 6 = $
Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые во всем выражении:
$= (n^2 - n^2) + (28n - 10n) + (75 - 24 - 6) = $
$= 0 + 18n + 45 = 18n + 45$.

Мы упростили исходное выражение до вида $18n + 45$. Теперь нужно доказать, что это выражение кратно 9 при любом натуральном $n$. Для этого вынесем общий множитель 9 за скобки:

$18n + 45 = 9 \cdot 2n + 9 \cdot 5 = 9(2n + 5)$.

По условию задачи $n$ является натуральным числом ($n \in \{1, 2, 3, ...\}$). Следовательно, выражение в скобках $(2n + 5)$ всегда будет целым числом. Поскольку полученное выражение $9(2n + 5)$ представляет собой произведение, где один из множителей равен 9, то всё произведение делится на 9 без остатка.

Таким образом, доказано, что значение выражения $(n + 25)(n + 3) - (n + 6)(n + 4) - 6$ кратно 9 при любом натуральном значении $n$.

Ответ: Что и требовалось доказать.