Номер 11, страница 61 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Параграф 11. Умножение многочлена на многочлен. Глава 2. Целые выражения. Рабочая тетрадь 1 - номер 11, страница 61.

Условие.

11. Заполните пропуски такими одночленами, чтобы образовалось тождество:

1) $(a - 3)(\text{____} + 5) = 3a^2 - \text{____} - \text{____};$

2) $(b + 4)(b - \text{____}) = \text{____} - \text{____} - 32.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Чтобы равенство $(a - 3)( \text{___} + 5) = 3a^2 - \text{___} - \text{___}$ стало тождеством, необходимо заполнить пропуски. Обозначим пропуски как $X$, $Y$ и $Z$ соответственно: $(a - 3)(X + 5) = 3a^2 - Y - Z$.

Раскроем скобки в левой части равенства, умножив каждый член первой скобки на каждый член второй:

$(a - 3)(X + 5) = a \cdot X + a \cdot 5 - 3 \cdot X - 3 \cdot 5 = aX + 5a - 3X - 15$.

Теперь приравняем левую и правую части: $aX + 5a - 3X - 15 = 3a^2 - Y - Z$.

В правой части равенства есть член $3a^2$. В левой части член с $a^2$ может получиться только из произведения $aX$. Следовательно, должно выполняться равенство $aX = 3a^2$. Отсюда находим первый искомый одночлен:

$X = \frac{3a^2}{a} = 3a$.

Теперь, когда мы знаем первый пропуск, подставим $X = 3a$ в левую часть исходного равенства и упростим ее:

$(a - 3)(3a + 5) = a \cdot 3a + a \cdot 5 - 3 \cdot 3a - 3 \cdot 5 = 3a^2 + 5a - 9a - 15 = 3a^2 - 4a - 15$.

Сравнивая полученное выражение $3a^2 - 4a - 15$ с правой частью исходного равенства $3a^2 - Y - Z$, мы можем определить остальные пропущенные одночлены:

$3a^2 - 4a - 15 = 3a^2 - Y - Z$.

Отсюда очевидно, что $Y = 4a$ и $Z = 15$.

Таким образом, тождество имеет вид: $(a - 3)(3a + 5) = 3a^2 - 4a - 15$.

Ответ: в первый пропуск нужно вписать $3a$, во второй — $4a$, в третий — $15$.

2) Рассмотрим второе равенство: $(b + 4)(b - \text{___}) = \text{___} - \text{___} - 32$. Обозначим пропуски как $X$, $Y$ и $Z$: $(b + 4)(b - X) = Y - Z - 32$.

Раскроем скобки в левой части равенства:

$(b + 4)(b - X) = b \cdot b - b \cdot X + 4 \cdot b - 4 \cdot X = b^2 - bX + 4b - 4X$.

Приравняем левую и правую части: $b^2 - bX + 4b - 4X = Y - Z - 32$.

В правой части есть свободный член (число) $-32$. В левой части он может получиться только из произведения $+4$ на $-X$. Следовательно, $-4X = -32$. Отсюда находим первый пропуск:

$X = \frac{-32}{-4} = 8$.

Подставим найденное значение $X = 8$ в левую часть и упростим ее:

$(b + 4)(b - 8) = b \cdot b + b \cdot (-8) + 4 \cdot b + 4 \cdot (-8) = b^2 - 8b + 4b - 32 = b^2 - 4b - 32$.

Теперь сравним полученное выражение $b^2 - 4b - 32$ с правой частью исходного равенства $Y - Z - 32$:

$b^2 - 4b - 32 = Y - Z - 32$.

Отсюда следует, что $Y = b^2$ и $Z = 4b$.

Таким образом, тождество имеет вид: $(b + 4)(b - 8) = b^2 - 4b - 32$.

Ответ: в первый пропуск нужно вписать $8$, во второй — $b^2$, в третий — $4b$.