Номер 12, страница 61 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Рабочая тетрадь 1. Глава 2. Целые выражения. Параграф 11. Умножение многочлена на многочлен - номер 12, страница 61.

Условие.

12. При каком значении $b$ произведение многочленов $2x^2 + 3x - 6$ и $5x^2 - bx + 1$ является многочленом стандартного вида, у которого коэффициент при $x^3$ равен -1?

Решение.

Коэффициент при $x^3$ равен сумме коэффициентов одночлена, являющегося произведением одночленов $2x^2$ и , и одночлена, являющегося произведением одночленов и .

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение.

Даны два многочлена: $P_1(x) = 2x^2 + 3x - 6$ и $P_2(x) = 5x^2 - bx + 1$.
Нам необходимо найти такое значение $b$, при котором коэффициент при $x^3$ в произведении этих многочленов $P_1(x) \cdot P_2(x)$ будет равен $-1$.

Для нахождения коэффициента при $x^3$ не требуется полностью перемножать многочлены. Достаточно найти только те пары членов, произведение которых даст одночлен со степенью $x^3$.

Слагаемое с $x^3$ образуется в результате сложения произведений следующих пар членов:
1. Члена с $x^2$ из первого многочлена и члена с $x$ из второго:
$(2x^2) \cdot (-bx) = -2bx^3$
2. Члена с $x$ из первого многочлена и члена с $x^2$ из второго:
$(3x) \cdot (5x^2) = 15x^3$

Общий член с $x^3$ в произведении многочленов является суммой этих двух слагаемых:
$-2bx^3 + 15x^3 = (-2b + 15)x^3$

Таким образом, коэффициент при $x^3$ равен $(-2b + 15)$.

По условию задачи, этот коэффициент должен быть равен $-1$. Составим и решим уравнение:
$-2b + 15 = -1$
Вычтем 15 из обеих частей уравнения:
$-2b = -1 - 15$
$-2b = -16$
Разделим обе части на $-2$:
$b = \frac{-16}{-2}$
$b = 8$

Ответ: 8.