Номер 14, страница 62 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Параграф 11. Умножение многочлена на многочлен. Глава 2. Целые выражения. Рабочая тетрадь 1 - номер 14, страница 62.

Условие.

14. Остаток при делении натурального числа x на 12 равен 3, а остаток при делении натурального числа y на 12 равен 4. Докажите, что произведение чисел x и y делится нацело на 12.

Решение.

Пусть неполное частное при делении числа x на 12 равно m, а при делении числа y на 12 равно n. Тогда $x = 12m + 3$, $y = 12n + 4$

Найдём произведение чисел x и y:

$xy = (12m + 3)(12n + 4) = $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение.

По условию задачи, остаток при делении натурального числа $x$ на 12 равен 3. Согласно определению деления с остатком, это означает, что число $x$ можно представить в виде:

$x = 12m + 3$

где $m$ — неполное частное (целое неотрицательное число).

Аналогично, остаток при делении натурального числа $y$ на 12 равен 4. Это означает, что число $y$ можно представить в виде:

$y = 12n + 4$

где $n$ — неполное частное (целое неотрицательное число).

Найдём произведение чисел $x$ и $y$:

Для этого перемножим полученные выражения для $x$ и $y$:

$xy = (12m + 3)(12n + 4)$

Раскроем скобки, используя правило умножения многочленов (каждый член первого многочлена умножается на каждый член второго):

$xy = 12m \cdot 12n + 12m \cdot 4 + 3 \cdot 12n + 3 \cdot 4$

$xy = 144mn + 48m + 36n + 12$

Чтобы доказать, что произведение $xy$ делится нацело на 12, необходимо показать, что оно является кратным 12. Для этого вынесем общий множитель 12 за скобки в полученном выражении:

$xy = 12(12mn + 4m + 3n + 1)$

Поскольку $m$ и $n$ являются целыми числами (как неполные частные), то и выражение в скобках, $12mn + 4m + 3n + 1$, также является целым числом. Обозначим это целое число буквой $k$:

$k = 12mn + 4m + 3n + 1$

Тогда произведение $xy$ можно записать в виде:

$xy = 12k$

Это равенство по определению означает, что произведение $xy$ делится на 12 нацело, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.