Номер 5, страница 65 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Параграф 12. Разложение многочленов на множители. Вынесение общего множителя за скобки. Глава 2. Целые выражения. Рабочая тетрадь 1 - номер 5, страница 65.

Условие.

5. Представьте в виде произведения многочленов выражение:

1) $4a(a - 2) + 8a(a - 2)^2 =$

2) $(5x + 6)(3y - 1) - (3y - 1)(4x - 9) =$

3) $(y - 7)^5(2y + 5)^4 + (y - 7)^4(2y + 5)^5 =$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) $4a(a - 2) + 8a(a - 2)^2$
Чтобы представить выражение в виде произведения, необходимо вынести за скобки общий множитель. В данном выражении два слагаемых: $4a(a - 2)$ и $8a(a - 2)^2$.
Определим общий множитель для этих слагаемых.

• Общий множитель для числовых коэффициентов 4 и 8 является 4.
• Общий множитель для переменных является $a$.
• Общий множитель для выражений в скобках является $(a - 2)$ в наименьшей степени, то есть в первой степени: $(a - 2)$.

Таким образом, общий множитель для всего выражения равен $4a(a - 2)$.
Вынесем его за скобки. От первого слагаемого останется 1, а от второго $2(a - 2)$.
$4a(a - 2) + 8a(a - 2)^2 = 4a(a - 2)(1 + 2(a - 2))$
Теперь упростим выражение во второй скобке:
$1 + 2(a - 2) = 1 + 2a - 4 = 2a - 3$
В итоге получаем произведение трех многочленов:
$4a(a - 2)(2a - 3)$
Ответ: $4a(a - 2)(2a - 3)$

2) $(5x + 6)(3y - 1) - (3y - 1)(4x - 9)$
Это выражение представляет собой разность двух произведений. Заметим, что в обоих произведениях есть общий множитель — это двучлен $(3y - 1)$.
Вынесем этот общий множитель за скобки:
$(3y - 1) \cdot [(5x + 6) - (4x - 9)]$
Теперь упростим выражение в квадратных скобках. Для этого раскроем внутренние скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак минус, все знаки внутри нее меняются на противоположные.
$(5x + 6) - (4x - 9) = 5x + 6 - 4x + 9$
Приведем подобные слагаемые:
$(5x - 4x) + (6 + 9) = x + 15$
Подставим полученное выражение обратно. Итоговое произведение имеет вид:
$(3y - 1)(x + 15)$
Ответ: $(3y - 1)(x + 15)$

3) $(y - 7)^5(2y + 5)^4 + (y - 7)^4(2y + 5)^5$
Данное выражение является суммой двух слагаемых. Чтобы разложить его на множители, найдем общий множитель.
Оба слагаемых содержат множители $(y - 7)$ и $(2y + 5)$ в разных степенях.
В качестве общего множителя мы можем вынести каждый из этих двучленов в наименьшей степени, в которой он встречается в слагаемых.

• Наименьшая степень для $(y - 7)$ — это 4.
• Наименьшая степень для $(2y + 5)$ — это 4.

Значит, общий множитель равен $(y - 7)^4(2y + 5)^4$.
Вынесем его за скобки:
$(y - 7)^4(2y + 5)^4 \cdot [(y - 7) + (2y + 5)]$
Теперь упростим выражение в квадратных скобках, раскрыв внутренние скобки и приведя подобные слагаемые:
$(y - 7) + (2y + 5) = y - 7 + 2y + 5 = (y + 2y) + (-7 + 5) = 3y - 2$
Таким образом, окончательное разложение на множители выглядит так:
$(y - 7)^4(2y + 5)^4(3y - 2)$
Ответ: $(y - 7)^4(2y + 5)^4(3y - 2)$