Номер 12, страница 68 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Рабочая тетрадь 1. Глава 2. Целые выражения. Параграф 12. Разложение многочленов на множители. Вынесение общего множителя за скобки - номер 12, страница 68.

Условие.

12. Докажите, что при любом натуральном значении n значение выражения:

1) $2^n + 2^{n+1} + 2^{n+2}$ кратно 14;

2) $5^{6n-1} - 3 \cdot 5^{6n-2} + 2 \cdot 5^{6n-3}$ кратно 12;

3) $9^{3n+1} - 27^{2n-1}$ кратно 121.

Решение.

1) Разложим данное выражение на множители:

$2^n + 2^{n+1} + 2^{n+2} = 2^n($ + + )=

2) Вынесем в данном выражении за скобки степень числа 5 с наименьшим показателем:

$5^{6n-1} - 3 \cdot 5^{6n-2} + 2 \cdot 5^{6n-3} =$

3) $9^{3n+1} - 27^{2n-1} = (3^2)^{3n+1} -$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Докажем, что выражение $2^n + 2^{n+1} + 2^{n+2}$ кратно 14 при любом натуральном $n$.

Для этого преобразуем выражение, вынеся за скобки общий множитель $2^n$ (степень с наименьшим показателем):

$2^n + 2^{n+1} + 2^{n+2} = 2^n(1 + 2^1 + 2^2)$

Вычислим значение выражения в скобках:

$1 + 2 + 4 = 7$

Таким образом, исходное выражение равно:

$2^n \cdot 7$

Поскольку $n$ — натуральное число, то $n \ge 1$. Это значит, что множитель $2^n$ всегда делится на 2. Следовательно, все выражение $7 \cdot 2^n$ делится и на 7, и на 2, а значит, оно кратно их произведению $7 \cdot 2 = 14$. Можно также представить выражение в виде $14 \cdot 2^{n-1}$.

Ответ: Поскольку $2^{n-1}$ является целым числом при любом натуральном $n$, исходное выражение всегда кратно 14, что и требовалось доказать.

2) Докажем, что выражение $5^{6n-1} - 3 \cdot 5^{6n-2} + 2 \cdot 5^{6n-3}$ кратно 12 при любом натуральном $n$.

Вынесем за скобки общий множитель, которым является степень с наименьшим показателем, то есть $5^{6n-3}$:

$5^{6n-1} - 3 \cdot 5^{6n-2} + 2 \cdot 5^{6n-3} = 5^{6n-3}(5^2 - 3 \cdot 5^1 + 2 \cdot 1)$

Вычислим значение выражения в скобках:

$25 - 15 + 2 = 10 + 2 = 12$

Таким образом, исходное выражение равно:

$12 \cdot 5^{6n-3}$

Ответ: Так как $n$ — натуральное число, то $6n-3 \ge 3$, и $5^{6n-3}$ является целым числом. Следовательно, выражение $12 \cdot 5^{6n-3}$ всегда кратно 12, что и требовалось доказать.

3) Докажем, что выражение $9^{3n+1} - 27^{2n-1}$ кратно 121 при любом натуральном $n$.

Для начала приведем степени к одному основанию — числу 3, так как $9 = 3^2$ и $27 = 3^3$:

$9^{3n+1} = (3^2)^{3n+1} = 3^{2(3n+1)} = 3^{6n+2}$

$27^{2n-1} = (3^3)^{2n-1} = 3^{3(2n-1)} = 3^{6n-3}$

Теперь выражение имеет вид:

$3^{6n+2} - 3^{6n-3}$

Вынесем за скобки общий множитель $3^{6n-3}$ (степень с наименьшим показателем):

$3^{6n-3}(3^{(6n+2)-(6n-3)} - 1) = 3^{6n-3}(3^5 - 1)$

Вычислим значение выражения в скобках:

$3^5 - 1 = 243 - 1 = 242$

Исходное выражение равно:

$242 \cdot 3^{6n-3}$

Заметим, что число 242 делится на 121: $242 = 2 \cdot 121$. Тогда выражение можно переписать в виде:

$121 \cdot 2 \cdot 3^{6n-3}$

Ответ: Поскольку $n$ — натуральное число, $6n-3 \ge 3$, и $2 \cdot 3^{6n-3}$ является целым числом. Следовательно, исходное выражение всегда кратно 121, что и требовалось доказать.