Номер 12, страница 68 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский


Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: рабочая тетрадь
Издательство: Просвещение, Вентана-граф
Год издания: 2018 - 2025
Часть: 1, 2
Цвет обложки: синий с папками
ISBN: 978-5-360-09144-8(ч. 1), 978-5-360-09145-5(ч. 2)
Популярные ГДЗ в 7 классе
Параграф 12. Разложение многочленов на множители. Вынесение общего множителя за скобки. Глава 2. Целые выражения. Рабочая тетрадь 1 - номер 12, страница 68.
№12 (с. 68)
Условие. №12 (с. 68)
скриншот условия

12. Докажите, что при любом натуральном значении n значение выражения:
1) $2^n + 2^{n+1} + 2^{n+2}$ кратно 14;
2) $5^{6n-1} - 3 \cdot 5^{6n-2} + 2 \cdot 5^{6n-3}$ кратно 12;
3) $9^{3n+1} - 27^{2n-1}$ кратно 121.
Решение.
1) Разложим данное выражение на множители:
$2^n + 2^{n+1} + 2^{n+2} = 2^n($ + + )=
2) Вынесем в данном выражении за скобки степень числа 5 с наименьшим показателем:
$5^{6n-1} - 3 \cdot 5^{6n-2} + 2 \cdot 5^{6n-3} =$
3) $9^{3n+1} - 27^{2n-1} = (3^2)^{3n+1} -$
Решение 1. №12 (с. 68)



Решение 2. №12 (с. 68)

Решение 3. №12 (с. 68)

Решение 4. №12 (с. 68)

Решение 5. №12 (с. 68)
1) Докажем, что выражение $2^n + 2^{n+1} + 2^{n+2}$ кратно 14 при любом натуральном $n$.
Для этого преобразуем выражение, вынеся за скобки общий множитель $2^n$ (степень с наименьшим показателем):
$2^n + 2^{n+1} + 2^{n+2} = 2^n(1 + 2^1 + 2^2)$
Вычислим значение выражения в скобках:
$1 + 2 + 4 = 7$
Таким образом, исходное выражение равно:
$2^n \cdot 7$
Поскольку $n$ — натуральное число, то $n \ge 1$. Это значит, что множитель $2^n$ всегда делится на 2. Следовательно, все выражение $7 \cdot 2^n$ делится и на 7, и на 2, а значит, оно кратно их произведению $7 \cdot 2 = 14$. Можно также представить выражение в виде $14 \cdot 2^{n-1}$.
Ответ: Поскольку $2^{n-1}$ является целым числом при любом натуральном $n$, исходное выражение всегда кратно 14, что и требовалось доказать.
2) Докажем, что выражение $5^{6n-1} - 3 \cdot 5^{6n-2} + 2 \cdot 5^{6n-3}$ кратно 12 при любом натуральном $n$.
Вынесем за скобки общий множитель, которым является степень с наименьшим показателем, то есть $5^{6n-3}$:
$5^{6n-1} - 3 \cdot 5^{6n-2} + 2 \cdot 5^{6n-3} = 5^{6n-3}(5^2 - 3 \cdot 5^1 + 2 \cdot 1)$
Вычислим значение выражения в скобках:
$25 - 15 + 2 = 10 + 2 = 12$
Таким образом, исходное выражение равно:
$12 \cdot 5^{6n-3}$
Ответ: Так как $n$ — натуральное число, то $6n-3 \ge 3$, и $5^{6n-3}$ является целым числом. Следовательно, выражение $12 \cdot 5^{6n-3}$ всегда кратно 12, что и требовалось доказать.
3) Докажем, что выражение $9^{3n+1} - 27^{2n-1}$ кратно 121 при любом натуральном $n$.
Для начала приведем степени к одному основанию — числу 3, так как $9 = 3^2$ и $27 = 3^3$:
$9^{3n+1} = (3^2)^{3n+1} = 3^{2(3n+1)} = 3^{6n+2}$
$27^{2n-1} = (3^3)^{2n-1} = 3^{3(2n-1)} = 3^{6n-3}$
Теперь выражение имеет вид:
$3^{6n+2} - 3^{6n-3}$
Вынесем за скобки общий множитель $3^{6n-3}$ (степень с наименьшим показателем):
$3^{6n-3}(3^{(6n+2)-(6n-3)} - 1) = 3^{6n-3}(3^5 - 1)$
Вычислим значение выражения в скобках:
$3^5 - 1 = 243 - 1 = 242$
Исходное выражение равно:
$242 \cdot 3^{6n-3}$
Заметим, что число 242 делится на 121: $242 = 2 \cdot 121$. Тогда выражение можно переписать в виде:
$121 \cdot 2 \cdot 3^{6n-3}$
Ответ: Поскольку $n$ — натуральное число, $6n-3 \ge 3$, и $2 \cdot 3^{6n-3}$ является целым числом. Следовательно, исходное выражение всегда кратно 121, что и требовалось доказать.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 7 класс, для упражнения номер 12 расположенного на странице 68 к рабочей тетради 2018 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №12 (с. 68), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) учебного пособия издательства Просвещение, Вентана-граф.