Номер 4, страница 70 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Рабочая тетрадь 1. Глава 2. Целые выражения. Параграф 13. Разложение многочленов на множители. Метод группировки - номер 4, страница 70.

Условие.

4. Запишите в пропуск такой одночлен, чтобы полученный многочлен можно было разложить на множители способом группировки, и выполните разложение на множители:

1) $7x + ay$ _______________ $+ 7y$ _______________ $=$ _______________

2) $ab - b - ac$ _______________ $=$ _______________

3) $a^5 - 5a^3 + 4a^2$ _______________ $=$ _______________

4) $4m^5 + 6m^2n^2 - 22m^3n$ _______________ $=$ _______________

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1)

В исходном выражении $7x + ay + 7y$ три слагаемых. Для разложения многочлена на множители способом группировки он должен состоять, как правило, из четырех слагаемых. Добавим такой одночлен, чтобы после группировки слагаемых можно было вынести общий множитель. Пусть недостающий член — это $ax$. Тогда выражение примет вид: $7x + ay + 7y + ax$.

Сгруппируем слагаемые: $(7x + 7y) + (ay + ax)$.

Вынесем общие множители из каждой группы: $7(x + y) + a(y + x)$.

Так как $y+x = x+y$, теперь можно вынести общий множитель $(x+y)$: $(x+y)(7+a)$.

Можно было сгруппировать и по-другому: $(7x + ax) + (ay + 7y) = x(7+a) + y(a+7) = (x+y)(7+a)$. Результат тот же.

Ответ: Недостающий одночлен: $ax$. Разложение на множители: $7x + ay + 7y + ax = (x+y)(a+7)$.

2)

В выражении $ab - b - ac$ три слагаемых. Чтобы сделать возможной группировку, добавим четвертый член. Исходя из имеющихся слагаемых, подходящим вариантом является одночлен $c$. Получим многочлен $ab - b - ac + c$.

Сгруппируем слагаемые: $(ab - b) + (-ac + c)$.

Вынесем общие множители из каждой группы. Из первой группы вынесем $b$, а из второй $-c$: $b(a-1) - c(a-1)$.

Теперь вынесем общий множитель $(a-1)$: $(a-1)(b-c)$.

Ответ: Недостающий одночлен: $c$. Разложение на множители: $ab - b - ac + c = (a-1)(b-c)$.

3)

В выражении $a^5 - 5a^3 + 4a^2$ три слагаемых. Чтобы применить метод группировки, добавим четвертое слагаемое. Проанализируем первые два слагаемых: $a^5 - 5a^3 = a^3(a^2-5)$. Чтобы из оставшихся слагаемых $4a^2 + ...$ можно было вынести множитель $(a^2-5)$, нужно чтобы $4a^2 + ... = 4(a^2-5) = 4a^2 - 20$. Значит, недостающий одночлен — это $-20$.

Получим многочлен: $a^5 - 5a^3 + 4a^2 - 20$.

Выполним разложение, сгруппировав слагаемые: $(a^5 - 5a^3) + (4a^2 - 20)$.

Вынесем общие множители: $a^3(a^2 - 5) + 4(a^2 - 5)$.

Вынесем общий множитель $(a^2 - 5)$: $(a^2-5)(a^3+4)$.

Ответ: Недостающий одночлен: $-20$. Разложение на множители: $a^5 - 5a^3 + 4a^2 - 20 = (a^2-5)(a^3+4)$.

4)

В выражении $4m^5 + 6m^2n^2 - 22m^3n$ три слагаемых. Для разложения методом группировки нужен четвертый член. Найдем его, исходя из возможности последующей группировки. Попробуем сгруппировать первый и третий члены, а второй с искомым четвертым $X$: $(4m^5 - 22m^3n) + (6m^2n^2 + X)$.

Из первой группы выносим общий множитель $2m^3$: $2m^3(2m^2 - 11n)$.

Чтобы разложение было успешным, из второй группы $(6m^2n^2 + X)$ должен выноситься такой множитель, чтобы в скобках осталось то же выражение $(2m^2 - 11n)$. Попробуем вынести $3n^2$ из второго слагаемого: $6m^2n^2 = 3n^2(2m^2)$. Это совпадает с первым членом в скобках. Тогда $X$ должен соответствовать второму члену: $X = 3n^2(-11n) = -33n^3$.

Итак, недостающий одночлен — это $-33n^3$.

Теперь выполним разложение многочлена $4m^5 + 6m^2n^2 - 22m^3n - 33n^3$. Перегруппируем слагаемые для удобства: $(4m^5 - 22m^3n) + (6m^2n^2 - 33n^3)$.

Вынесем общие множители: $2m^3(2m^2-11n) + 3n^2(2m^2-11n)$.

Вынесем общий множитель $(2m^2-11n)$: $(2m^2-11n)(2m^3+3n^2)$.

Ответ: Недостающий одночлен: $-33n^3$. Разложение на множители: $4m^5 + 6m^2n^2 - 22m^3n - 33n^3 = (2m^2-11n)(2m^3+3n^2)$.