Номер 4, страница 72 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Рабочая тетрадь 1. Глава 2. Целые выражения. Параграф 14. Произведение разности и суммы двух выражений - номер 4, страница 72.

Условие.

4. Впишите в пустые клетки такие одночлены, чтобы получилось тождество:

1) $(\quad - 9b)(\quad + \quad ) = 64c^2 - \quad $;

2) $(\quad - 3c^2)(\quad + 3c^2) = 49m^2 - \quad $;

3) $(0.5a + \quad)(\quad - 0.5a) = \frac{1}{64}p^{10} - \quad .$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1)

Данное тождество основано на формуле разности квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.
Изначальное выражение: $(\Box - 9b)(\Box + \Box) = 64c^2 - \Box$.
Правая часть тождества, $64c^2 - \Box$, соответствует $a^2 - b^2$. Отсюда следует, что $a^2 = 64c^2$.
Найдем $a$, извлекая квадратный корень: $a = \sqrt{64c^2} = 8c$. Этот одночлен должен стоять на первом месте в каждой скобке. Вписываем $8c$ в первые две пустые клетки.
Левая часть тождества должна иметь вид $(a - b)(a + b)$. Сравнивая первую скобку $(\Box - 9b)$ с $(a - b)$, мы видим, что $b = 9b$. Следовательно, во второй скобке $(\Box + \Box)$ второй член также должен быть $b$, то есть $9b$. Вписываем $9b$ в третью пустую клетку.
Теперь левая часть полностью определена: $(8c - 9b)(8c + 9b)$.
Найдем правую часть тождества, раскрыв скобки по формуле: $(8c)^2 - (9b)^2 = 64c^2 - 81b^2$.
Следовательно, в последнюю пустую клетку в правой части нужно вписать $81b^2$.
Полученное тождество: $(8c - 9b)(8c + 9b) = 64c^2 - 81b^2$.

Ответ: В пустые клетки слева направо следует вписать: $8c$, $8c$, $9b$, $81b^2$.

2)

Это тождество также использует формулу разности квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.
Изначальное выражение: $(\Box - 3c^2)(\Box + 3c^2) = 49m^2 - \Box$.
Левая часть $(\Box - 3c^2)(\Box + 3c^2)$ соответствует $(a - b)(a + b)$, где $b = 3c^2$. Первые члены в скобках одинаковы и равны $a$.
Правая часть $49m^2 - \Box$ соответствует $a^2 - b^2$. Отсюда $a^2 = 49m^2$.
Найдем $a$: $a = \sqrt{49m^2} = 7m$. Этот одночлен вписываем в пустые клетки в обеих скобках.
Теперь найдем недостающий член в правой части, который равен $b^2$: $b^2 = (3c^2)^2 = 3^2 \cdot (c^2)^2 = 9c^4$.
Полученное тождество: $(7m - 3c^2)(7m + 3c^2) = 49m^2 - 9c^4$.

Ответ: В пустые клетки в скобках следует вписать $7m$, а в клетку в правой части равенства – $9c^4$.

3)

Это тождество также основано на формуле разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.
Изначальное выражение: $(0,5a + \Box)(\Box - 0,5a) = \frac{1}{64}p^{10} - \Box$.
Чтобы применить формулу, переставим слагаемые в первой скобке: $(\Box + 0,5a)(\Box - 0,5a)$.
Теперь левая часть соответствует виду $(x + y)(x - y)$, где $x$ — это одночлен в пустых клетках, а $y = 0,5a$.
Правая часть тождества равна $x^2 - y^2$, то есть $\frac{1}{64}p^{10} - \Box$.
Следовательно, $x^2 = \frac{1}{64}p^{10}$.
Найдем $x$: $x = \sqrt{\frac{1}{64}p^{10}} = \frac{1}{8}p^5$. Этот одночлен нужно вписать в обе пустые клетки в скобках.
Теперь найдем недостающий член в правой части, который равен $y^2$: $y^2 = (0,5a)^2 = 0,25a^2$.
Полученное тождество: $(0,5a + \frac{1}{8}p^5)(\frac{1}{8}p^5 - 0,5a) = \frac{1}{64}p^{10} - 0,25a^2$.

Ответ: В пустые клетки в скобках следует вписать $\frac{1}{8}p^5$, а в клетку в правой части равенства – $0,25a^2$.