Номер 10, страница 74 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Параграф 14. Произведение разности и суммы двух выражений. Глава 2. Целые выражения. Рабочая тетрадь 1 - номер 10, страница 74.

Условие.

10. Установите, верно ли утверждение: при любом натуральном $n$ значение выражения $(11n - 3)(11n + 3) - (9n + 2)(9n + 4) - 3(5 - 2n)$ делится нацело на 8.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы проверить, верно ли утверждение, необходимо упростить данное алгебраическое выражение и проанализировать результат на предмет делимости на 8.

Исходное выражение: $(11n - 3)(11n + 3) - (9n + 2)(9n + 4) - 3(5 - 2n)$.

1. Упростим первое произведение, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:
$(11n - 3)(11n + 3) = (11n)^2 - 3^2 = 121n^2 - 9$.

2. Раскроем скобки во втором произведении, умножив многочлены:
$(9n + 2)(9n + 4) = 9n \cdot 9n + 9n \cdot 4 + 2 \cdot 9n + 2 \cdot 4 = 81n^2 + 36n + 18n + 8 = 81n^2 + 54n + 8$.

3. Раскроем скобки в третьем члене:
$3(5 - 2n) = 15 - 6n$.

4. Подставим упрощенные выражения обратно в исходное и приведем подобные слагаемые:

$(121n^2 - 9) - (81n^2 + 54n + 8) - (15 - 6n) = $
$= 121n^2 - 9 - 81n^2 - 54n - 8 - 15 + 6n = $
$= (121n^2 - 81n^2) + (-54n + 6n) + (-9 - 8 - 15) = $
$= 40n^2 - 48n - 32$.

5. Теперь проанализируем полученное выражение $40n^2 - 48n - 32$ на делимость на 8. Для этого вынесем общий множитель 8 за скобки:

$40n^2 - 48n - 32 = 8 \cdot 5n^2 - 8 \cdot 6n - 8 \cdot 4 = 8(5n^2 - 6n - 4)$.

По условию, $n$ является натуральным числом. Это означает, что $n$ — целое положительное число. Тогда $n^2$ также является целым числом. Следовательно, выражение в скобках $5n^2 - 6n - 4$ всегда будет целым числом, так как операции умножения, вычитания и сложения над целыми числами всегда дают в результате целое число.

Таким образом, исходное выражение можно представить в виде $8k$, где $k = 5n^2 - 6n - 4$ и $k$ является целым числом. Любое число вида $8k$ по определению делится нацело на 8.

Ответ: утверждение верно.