Номер 5, страница 72 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Рабочая тетрадь 1. Глава 2. Целые выражения. Параграф 14. Произведение разности и суммы двух выражений - номер 5, страница 72.

Условие.

5. Представьте в виде многочлена выражение:

1) $x(x - 10)(x + 10) = x(x^2 - 100) = $

2) $6m^3(m + 6)(6 - m) = $

3) $(c^2 - 4)(c^2 + 4)(16 + c^4) = $

4) $(a - b)(a + b)(a^2 + b^2)(a^4 + b^4) = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2)(a^4 + b^4) = $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Чтобы представить выражение $x(x - 10)(x + 10)$ в виде многочлена, воспользуемся формулой разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ для сомножителей в скобках. В данном случае $a = x$ и $b = 10$.
$(x - 10)(x + 10) = x^2 - 10^2 = x^2 - 100$.
Теперь исходное выражение принимает вид: $x(x^2 - 100)$.
Раскроем скобки, умножив $x$ на каждый член многочлена в скобках:
$x \cdot x^2 - x \cdot 100 = x^3 - 100x$.
Ответ: $x^3 - 100x$.

2) В выражении $6m^3(m + 6)(6 - m)$ переставим слагаемые в первой скобке, чтобы было удобнее применить формулу разности квадратов: $6m^3(6 + m)(6 - m)$.
Применим формулу $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$, где $a = 6$ и $b = m$.
$(6 + m)(6 - m) = 6^2 - m^2 = 36 - m^2$.
Подставим результат в исходное выражение: $6m^3(36 - m^2)$.
Теперь раскроем скобки, умножив $6m^3$ на каждый член многочлена в скобках:
$6m^3 \cdot 36 - 6m^3 \cdot m^2 = 216m^3 - 6m^5$.
Для стандартного вида многочлена запишем его члены в порядке убывания степеней:
$-6m^5 + 216m^3$.
Ответ: $-6m^5 + 216m^3$.

3) Выражение $(c^2 - 4)(c^2 + 4)(16 + c^4)$ будем упрощать пошагово, используя формулу разности квадратов.
Сначала рассмотрим первые два сомножителя: $(c^2 - 4)(c^2 + 4)$. Здесь $a = c^2$ и $b = 4$.
$(c^2 - 4)(c^2 + 4) = (c^2)^2 - 4^2 = c^4 - 16$.
Теперь выражение выглядит так: $(c^4 - 16)(16 + c^4)$. Переставим слагаемые во второй скобке: $(c^4 - 16)(c^4 + 16)$.
Снова применяем формулу разности квадратов, где $a = c^4$ и $b = 16$.
$(c^4 - 16)(c^4 + 16) = (c^4)^2 - 16^2 = c^8 - 256$.
Ответ: $c^8 - 256$.

4) В выражении $(a - b)(a + b)(a^2 + b^2)(a^4 + b^4)$ последовательно применяем формулу разности квадратов.
Шаг 1: Умножим первые две скобки $(a - b)(a + b)$.
$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.
Выражение принимает вид: $(a^2 - b^2)(a^2 + b^2)(a^4 + b^4)$.
Шаг 2: Умножим первые две скобки получившегося выражения $(a^2 - b^2)(a^2 + b^2)$.
$(a^2 - b^2)(a^2 + b^2) = (a^2)^2 - (b^2)^2 = a^4 - b^4$.
Выражение принимает вид: $(a^4 - b^4)(a^4 + b^4)$.
Шаг 3: Применим формулу разности квадратов в последний раз.
$(a^4 - b^4)(a^4 + b^4) = (a^4)^2 - (b^4)^2 = a^8 - b^8$.
Ответ: $a^8 - b^8$.