Номер 6, страница 72 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Параграф 14. Произведение разности и суммы двух выражений. Глава 2. Целые выражения. Рабочая тетрадь 1 - номер 6, страница 72.

Условие.

6. Выполните умножение двучленов (n - натуральное число):

1) $ (a^{4n} - b^{3n})(a^{4n} + b^{3n}) = (a^{4n})^2 - \underline{\hspace{2em}} = a^{8n} - \underline{\hspace{2em}} $

2) $ (2^n + 3^{n+1})(3^{n+1} - 2^n) = \underline{\hspace{2em}} $

3) $ (6x^{3n-2} - 5y^{5n-3})(6x^{3n-2} + 5y^{5n-3}) = \underline{\hspace{2em}} $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Для умножения двучленов $(a^{4n} - b^{3n})(a^{4n} + b^{3n})$ используется формула сокращенного умножения "разность квадратов": $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.

В данном примере $x = a^{4n}$ и $y = b^{3n}$.

Применим формулу:

$(a^{4n} - b^{3n})(a^{4n} + b^{3n}) = (a^{4n})^2 - (b^{3n})^2$

Далее используем свойство степени "возведение степени в степень" $(x^m)^k = x^{m \cdot k}$:

$(a^{4n})^2 = a^{4n \cdot 2} = a^{8n}$

$(b^{3n})^2 = b^{3n \cdot 2} = b^{6n}$

Таким образом, получаем:

$(a^{4n} - b^{3n})(a^{4n} + b^{3n}) = a^{8n} - b^{6n}$

Если заполнить пропуски в исходном задании, получится:

$(a^{4n} - b^{3n})(a^{4n} + b^{3n}) = (a^{4n})^2 - (b^{3n})^2 = a^{8n} - b^{6n}$

Ответ: $a^{8n} - b^{6n}$.

2) Рассмотрим выражение $(2^n + 3^{n+1})(3^{n+1} - 2^n)$.

Чтобы применить формулу разности квадратов, поменяем местами слагаемые в первой скобке (от перемены мест слагаемых сумма не меняется):

$(3^{n+1} + 2^n)(3^{n+1} - 2^n)$

Теперь выражение соответствует формуле $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$, где $x = 3^{n+1}$ и $y = 2^n$.

Подставляем в формулу:

$(3^{n+1} + 2^n)(3^{n+1} - 2^n) = (3^{n+1})^2 - (2^n)^2$

Применяем свойство возведения степени в степень $(x^m)^k = x^{mk}$:

$(3^{n+1})^2 = 3^{(n+1) \cdot 2} = 3^{2n+2}$

$(2^n)^2 = 2^{2n}$

В результате получаем:

$3^{2n+2} - 2^{2n}$

Ответ: $3^{2n+2} - 2^{2n}$.

3) Выполним умножение двучленов $(6x^{3n-2} - 5y^{5n-3})(6x^{3n-2} + 5y^{5n-3})$.

Это выражение также соответствует формуле разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

В данном случае $a = 6x^{3n-2}$ и $b = 5y^{5n-3}$.

Применяем формулу:

$(6x^{3n-2} - 5y^{5n-3})(6x^{3n-2} + 5y^{5n-3}) = (6x^{3n-2})^2 - (5y^{5n-3})^2$

Для упрощения используем свойства степеней $(uv)^m = u^m v^m$ и $(u^k)^m = u^{km}$:

$(6x^{3n-2})^2 = 6^2 \cdot (x^{3n-2})^2 = 36 \cdot x^{(3n-2) \cdot 2} = 36x^{6n-4}$

$(5y^{5n-3})^2 = 5^2 \cdot (y^{5n-3})^2 = 25 \cdot y^{(5n-3) \cdot 2} = 25y^{10n-6}$

Собираем итоговое выражение:

$36x^{6n-4} - 25y^{10n-6}$

Ответ: $36x^{6n-4} - 25y^{10n-6}$.