Номер 6, страница 70 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Рабочая тетрадь 1. Глава 2. Целые выражения. Параграф 13. Разложение многочленов на множители. Метод группировки - номер 6, страница 70.

Условие.

6. Разложите на множители выражение (n – натуральное число):

1) $2^{n+1} + 2^{n+3} - 3^n - 3^{n+2} = 2^n(\text{______}) - 3^n(\text{______}) = $

2) $a^{n+4} - 6a^n + a^4 - 6 = $

3) $ax^{2n-1} + 4x^{2n} - ab - 4bx = $

4) $15^n - 2 \cdot 5^n + 3^{n+1} - 6 = (5 \cdot 3)^n - \text{______}$

5) $x^{2n} - xy^{n+1} + x^{2n-1}y^2 - y^{n+3} = $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) $2^{n+1} + 2^{n+3} - 3^n - 3^{n+2}$

Для разложения на множители сгруппируем слагаемые с одинаковыми основаниями и вынесем общий множитель за скобки.

Сгруппируем первые два слагаемых и последние два слагаемых:

$(2^{n+1} + 2^{n+3}) - (3^n + 3^{n+2})$

Используя свойство степени $a^{m+k} = a^m \cdot a^k$, преобразуем выражение:

$(2^n \cdot 2^1 + 2^n \cdot 2^3) - (3^n \cdot 1 + 3^n \cdot 3^2)$

Вынесем общие множители $2^n$ и $3^n$ из каждой скобки:

$2^n(2 + 2^3) - 3^n(1 + 3^2)$

Вычислим значения в скобках:

$2^n(2 + 8) - 3^n(1 + 9) = 2^n \cdot 10 - 3^n \cdot 10$

Теперь вынесем общий множитель 10 за скобки:

$10(2^n - 3^n)$

Ответ: $10(2^n - 3^n)$

2) $a^{n+4} - 6a^n + a^4 - 6$

Для разложения на множители используем метод группировки.

Сгруппируем первое слагаемое со вторым и третье с четвертым:

$(a^{n+4} - 6a^n) + (a^4 - 6)$

Вынесем общий множитель $a^n$ из первой группы:

$a^n(a^4 - 6) + 1 \cdot (a^4 - 6)$

Теперь вынесем общий множитель $(a^4 - 6)$ за скобки:

$(a^4 - 6)(a^n + 1)$

Ответ: $(a^n + 1)(a^4 - 6)$

3) $ax^{2n-1} + 4x^{2n} - ab - 4bx$

Для разложения на множители используем метод группировки.

Сгруппируем первое слагаемое со вторым и третье с четвертым:

$(ax^{2n-1} + 4x^{2n}) - (ab + 4bx)$

Вынесем общий множитель из каждой группы. Из первой группы вынесем $x^{2n-1}$ (учитывая, что $x^{2n} = x^{2n-1} \cdot x$), из второй группы вынесем $b$:

$x^{2n-1}(a + 4x) - b(a + 4x)$

Теперь вынесем общий множитель $(a + 4x)$ за скобки:

$(a + 4x)(x^{2n-1} - b)$

Ответ: $(a + 4x)(x^{2n-1} - b)$

4) $15^n - 2 \cdot 5^n + 3^{n+1} - 6$

Для разложения на множители преобразуем слагаемые и применим метод группировки.

Представим $15^n$ как $5^n \cdot 3^n$ и $3^{n+1}$ как $3 \cdot 3^n$. Выражение примет вид:

$5^n \cdot 3^n - 2 \cdot 5^n + 3 \cdot 3^n - 6$

Сгруппируем первое слагаемое со вторым и третье с четвертым:

$(5^n \cdot 3^n - 2 \cdot 5^n) + (3 \cdot 3^n - 6)$

Вынесем общие множители из каждой группы: $5^n$ из первой и $3$ из второй.

$5^n(3^n - 2) + 3(3^n - 2)$

Теперь вынесем общий множитель $(3^n - 2)$ за скобки:

$(3^n - 2)(5^n + 3)$

Ответ: $(5^n + 3)(3^n - 2)$

5) $x^{2n} - xy^{n+1} + x^{2n-1}y^2 - y^{n+3}$

Для разложения на множители используем метод группировки.

Сгруппируем первое слагаемое с третьим, а второе с четвертым:

$(x^{2n} + x^{2n-1}y^2) - (xy^{n+1} + y^{n+3})$

Вынесем общие множители из каждой группы. Из первой группы вынесем $x^{2n-1}$ (учитывая, что $x^{2n} = x^{2n-1} \cdot x$). Из второй группы вынесем $y^{n+1}$ (учитывая, что $y^{n+3} = y^{n+1} \cdot y^2$).

$x^{2n-1}(x + y^2) - y^{n+1}(x + y^2)$

Теперь вынесем общий множитель $(x + y^2)$ за скобки:

$(x + y^2)(x^{2n-1} - y^{n+1})$

Ответ: $(x + y^2)(x^{2n-1} - y^{n+1})$