Номер 1, страница 71 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Параграф 14. Произведение разности и суммы двух выражений. Глава 2. Целые выражения. Рабочая тетрадь 1 - номер 1, страница 71.

Условие.

1. Заполните пропуски.

1) Произведение разности двух выражений и их суммы равно

2) Имеет место тождество $ (a - b)(a + b) = $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Это утверждение описывает одну из основных формул сокращенного умножения, известную как "разность квадратов". Чтобы заполнить пропуск, давайте рассмотрим два произвольных выражения, которые мы обозначим как a и b.
Их разность записывается как $a-b$.
Их сумма записывается как $a+b$.
Произведение их разности и суммы будет выглядеть так: $(a-b)(a+b)$.
Раскроем скобки, перемножив каждый член первого выражения на каждый член второго:
$(a-b)(a+b) = a \cdot a + a \cdot b - b \cdot a - b \cdot b = a^2 + ab - ab - b^2$
Приведя подобные слагаемые ($ab$ и $-ab$ взаимно уничтожаются), получаем:
$a^2 - b^2$
Это выражение называется "разность квадратов". Таким образом, произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.
Ответ: разности квадратов этих выражений.

2) Данное выражение является тождеством, то есть равенством, верным при любых значениях входящих в него переменных. Это алгебраическая запись правила "разности квадратов". Чтобы найти правую часть тождества, необходимо выполнить умножение многочленов $(a-b)$ и $(a+b)$.
Используем правило дистрибутивности (раскрытие скобок):
$(a-b)(a+b) = a \cdot (a+b) - b \cdot (a+b)$
$a \cdot a + a \cdot b - b \cdot a - b \cdot b$
$a^2 + ab - ba - b^2$
Поскольку умножение коммутативно ($ab = ba$), мы можем упростить выражение:
$a^2 + ab - ab - b^2 = a^2 - b^2$
Таким образом, тождество имеет вид: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.
Ответ: $a^2 - b^2$.