Номер 7, страница 72 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Рабочая тетрадь 1. Глава 2. Целые выражения. Параграф 14. Произведение разности и суммы двух выражений - номер 7, страница 72.

Условие.

7. Упростите выражение:

1) $(3a - 4)(3a + 4) - (5a - 1)(5a + 1) = $

2) $(x + 2)(x - 2) - (x - 1)(x - 7) + (7 - x)(x + 7) = $

3) $(9m^2n - 2)(9m^2n + 2) - (7 - 9m^2n)(-7 - 9m^2n) = $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) $(3a - 4)(3a + 4) - (5a - 1)(5a + 1) =$

Для упрощения данного выражения воспользуемся формулой сокращенного умножения "разность квадратов": $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.

Применим эту формулу к каждой паре скобок:

Первое произведение: $(3a - 4)(3a + 4) = (3a)^2 - 4^2 = 9a^2 - 16$.

Второе произведение: $(5a - 1)(5a + 1) = (5a)^2 - 1^2 = 25a^2 - 1$.

Теперь подставим упрощенные части обратно в исходное выражение:

$(9a^2 - 16) - (25a^2 - 1)$

Раскроем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак минус, все знаки внутри нее меняются на противоположные:

$9a^2 - 16 - 25a^2 + 1$

Приведем подобные слагаемые:

$(9a^2 - 25a^2) + (-16 + 1) = -16a^2 - 15$.

Ответ: $-16a^2 - 15$

2) $(x + 2)(x - 2) - (x - 1)(x - 7) + (7 - x)(x + 7) =$

Упростим каждое произведение по отдельности.

Первое произведение $(x + 2)(x - 2)$ — это формула разности квадратов: $x^2 - 2^2 = x^2 - 4$.

Второе произведение $(x - 1)(x - 7)$ раскроем по правилу умножения многочленов:

$(x - 1)(x - 7) = x \cdot x + x \cdot (-7) - 1 \cdot x - 1 \cdot (-7) = x^2 - 7x - x + 7 = x^2 - 8x + 7$.

Третье произведение $(7 - x)(x + 7)$ также можно привести к формуле разности квадратов, поменяв слагаемые во второй скобке местами: $(7 - x)(7 + x) = 7^2 - x^2 = 49 - x^2$.

Подставим полученные выражения в исходное:

$(x^2 - 4) - (x^2 - 8x + 7) + (49 - x^2)$

Раскроем скобки, обращая внимание на знак минус перед второй скобкой:

$x^2 - 4 - x^2 + 8x - 7 + 49 - x^2$

Приведем подобные слагаемые:

$(x^2 - x^2 - x^2) + 8x + (-4 - 7 + 49) = -x^2 + 8x + 38$.

Ответ: $-x^2 + 8x + 38$

3) $(9m^2n - 2)(9m^2n + 2) - (7 - 9m^2n)(-7 - 9m^2n) =$

Для первого произведения $(9m^2n - 2)(9m^2n + 2)$ применим формулу разности квадратов:

$(9m^2n)^2 - 2^2 = 81m^4n^2 - 4$.

Рассмотрим второе произведение: $(7 - 9m^2n)(-7 - 9m^2n)$. Чтобы использовать формулу разности квадратов, вынесем $-1$ из второй скобки:

$(7 - 9m^2n) \cdot (-1) \cdot (7 + 9m^2n) = -(7 - 9m^2n)(7 + 9m^2n)$

Теперь это формула разности квадратов со знаком минус перед ней:

$-(7^2 - (9m^2n)^2) = -(49 - 81m^4n^2) = -49 + 81m^4n^2$.

Подставим упрощенные части в исходное выражение:

$(81m^4n^2 - 4) - (-49 + 81m^4n^2)$

Раскроем скобки. Знак минус перед скобкой меняет знаки внутри на противоположные:

$81m^4n^2 - 4 + 49 - 81m^4n^2$

Приведем подобные слагаемые:

$(81m^4n^2 - 81m^4n^2) + (-4 + 49) = 0 + 45 = 45$.

Ответ: $45$