Номер 9, страница 73 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Параграф 14. Произведение разности и суммы двух выражений. Глава 2. Целые выражения. Рабочая тетрадь 1 - номер 9, страница 73.

Условие.

9. Докажите, что при любом натуральном $n$ значение выражения $(13n - 24)(13n + 24) - (12n - 26)(12n + 26)$ делится нацело на 25.

Решение.

Упростим данное выражение:

$(13n - 24)(13n + 24) - (12n - 26)(12n + 26) = $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение.

Чтобы доказать, что значение выражения делится нацело на 25 при любом натуральном $n$, необходимо упростить данное выражение. Для этого воспользуемся формулой сокращенного умножения "разность квадратов": $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Применим эту формулу к обеим частям выражения:

$(13n - 24)(13n + 24) - (12n - 26)(12n + 26) = ((13n)^2 - 24^2) - ((12n)^2 - 26^2)$

Теперь возведем числа в квадрат и раскроем скобки:

$(169n^2 - 576) - (144n^2 - 676) = 169n^2 - 576 - 144n^2 + 676$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(169n^2 - 144n^2) + (676 - 576) = 25n^2 + 100$

Вынесем общий множитель 25 за скобки:

$25(n^2 + 4)$

По условию задачи, $n$ является натуральным числом, то есть $n \in \{1, 2, 3, \dots\}$. Это означает, что $n^2$ также является натуральным числом, а выражение в скобках $(n^2 + 4)$ — целым (и даже натуральным) числом. Обозначим $k = n^2 + 4$, где $k$ — целое число.

Тогда исходное выражение равно $25k$. Произведение любого целого числа $k$ на 25 всегда делится нацело на 25. Таким образом, мы доказали, что исходное выражение делится на 25 при любом натуральном $n$.

Ответ: Утверждение доказано. После упрощения выражение принимает вид $25(n^2+4)$, которое при любом натуральном $n$ делится нацело на 25, так как один из его множителей равен 25, а второй, $(n^2+4)$, является целым числом.