Номер 7, страница 77 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Рабочая тетрадь 1. Глава 2. Целые выражения. Параграф 15. Разность квадратов двух выражений - номер 7, страница 77.

Условие.

7. Разложите на множители:

1) $a^4 - 16b^4 = (a^2 - \underline{\hspace{2em}})(a^2 + \underline{\hspace{2em}}) = (a - \underline{\hspace{2em}})(a + \underline{\hspace{2em}})(a^2 + \underline{\hspace{2em}});$

2) $625 - x^8 = \underline{\hspace{5em}}$

3) $a^{16} - b^{24} = (a^8 - \underline{\hspace{2em}})(a^8 + \underline{\hspace{2em}}) = (a^4 - \underline{\hspace{2em}})(a^4 + \underline{\hspace{2em}})(a^8 + \underline{\hspace{2em}}) = \underline{\hspace{5em}}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1)

Для разложения на множители выражения $a^4 - 16b^4$ мы будем использовать формулу разности квадратов: $X^2 - Y^2 = (X - Y)(X + Y)$.

Сначала представим выражение в виде разности квадратов. Заметим, что $a^4 = (a^2)^2$ и $16b^4 = (4b^2)^2$. Следовательно, выражение можно переписать так: $a^4 - 16b^4 = (a^2)^2 - (4b^2)^2$.

Применяя формулу разности квадратов, где $X = a^2$ и $Y = 4b^2$, получаем первый шаг разложения: $(a^2)^2 - (4b^2)^2 = (a^2 - 4b^2)(a^2 + 4b^2)$.

Теперь рассмотрим множитель $(a^2 - 4b^2)$. Он также является разностью квадратов, поскольку $4b^2 = (2b)^2$. Применяя ту же формулу, где $X = a$ и $Y = 2b$, получаем: $a^2 - (2b)^2 = (a - 2b)(a + 2b)$.

Множитель $(a^2 + 4b^2)$ является суммой квадратов и не раскладывается на множители с действительными коэффициентами.

Объединяя все части, мы получаем полное разложение на множители: $a^4 - 16b^4 = (a - 2b)(a + 2b)(a^2 + 4b^2)$.

Ответ: $a^4 - 16b^4 = (a^2 - 4b^2)(a^2 + 4b^2) = (a - 2b)(a + 2b)(a^2 + 4b^2)$.

2)

Для разложения на множители выражения $625 - x^8$ мы последовательно применим формулу разности квадратов $X^2 - Y^2 = (X - Y)(X + Y)$.

Представим исходное выражение как разность квадратов: $625 = 25^2$ и $x^8 = (x^4)^2$. $625 - x^8 = 25^2 - (x^4)^2 = (25 - x^4)(25 + x^4)$.

Множитель $(25 - x^4)$ снова является разностью квадратов, так как $25 = 5^2$ и $x^4 = (x^2)^2$. $25 - x^4 = 5^2 - (x^2)^2 = (5 - x^2)(5 + x^2)$.

Множители $(25 + x^4)$ и $(5 + x^2)$ являются суммами квадратов, которые не раскладываются на множители с действительными коэффициентами. Множитель $(5 - x^2)$ можно разложить как $(\sqrt{5} - x)(\sqrt{5} + x)$, но обычно разложение прекращают, если коэффициенты становятся иррациональными.

Таким образом, окончательное разложение в целых числах имеет вид: $625 - x^8 = (5 - x^2)(5 + x^2)(25 + x^4)$.

Ответ: $625 - x^8 = (25 - x^4)(25 + x^4) = (5 - x^2)(5 + x^2)(25 + x^4)$.

3)

Для разложения на множители выражения $a^{16} - b^{24}$ мы будем многократно использовать формулу разности квадратов $X^2 - Y^2 = (X - Y)(X + Y)$.

Шаг 1: Представим выражение как разность квадратов. $a^{16} = (a^8)^2$ и $b^{24} = (b^{12})^2$. $a^{16} - b^{24} = (a^8)^2 - (b^{12})^2 = (a^8 - b^{12})(a^8 + b^{12})$.

Шаг 2: Разложим множитель $(a^8 - b^{12})$. $a^8 = (a^4)^2$ и $b^{12} = (b^6)^2$. $a^8 - b^{12} = (a^4)^2 - (b^6)^2 = (a^4 - b^6)(a^4 + b^6)$. На этом этапе разложение выглядит так: $(a^4 - b^6)(a^4 + b^6)(a^8 + b^{12})$.

Шаг 3: Разложим множитель $(a^4 - b^6)$. $a^4 = (a^2)^2$ и $b^6 = (b^3)^2$. $a^4 - b^6 = (a^2)^2 - (b^3)^2 = (a^2 - b^3)(a^2 + b^3)$.

Шаг 4: Собираем все множители вместе. Выражения $(a^2 - b^3)$, $(a^2 + b^3)$, $(a^4 + b^6)$ и $(a^8 + b^{12})$ не могут быть разложены дальше с помощью стандартных формул сокращенного умножения в действительных числах.

Полное разложение выглядит следующим образом: $a^{16} - b^{24} = (a^2 - b^3)(a^2 + b^3)(a^4 + b^6)(a^8 + b^{12})$.

Ответ: $a^{16} - b^{24} = (a^8 - b^{12})(a^8 + b^{12}) = (a^4 - b^6)(a^4 + b^6)(a^8 + b^{12}) = (a^2 - b^3)(a^2 + b^3)(a^4 + b^6)(a^8 + b^{12})$.