Номер 12, страница 80 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Рабочая тетрадь 1. Глава 2. Целые выражения. Параграф 15. Разность квадратов двух выражений - номер 12, страница 80.

Условие.

12. Докажите, что значение выражения $3^6 - 1$ делится нацело на 13.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для доказательства того, что значение выражения $3^6 - 1$ делится нацело на 13, можно преобразовать данное выражение, используя формулы сокращенного умножения. Рассмотрим два способа.

Способ 1: Использование формулы разности квадратов

Представим выражение $3^6 - 1$ как разность квадратов, так как $3^6 = (3^3)^2$ и $1 = 1^2$. Выражение принимает вид: $3^6 - 1 = (3^3)^2 - 1^2$.

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 3^3$ и $b = 1$: $(3^3 - 1)(3^3 + 1)$.

Вычислим значение $3^3 = 27$ и подставим его в разложение: $(27 - 1)(27 + 1) = 26 \times 28$.

В полученном произведении один из множителей, число 26, делится нацело на 13, так как $26 = 2 \times 13$. Поскольку один из множителей делится на 13, то и все произведение делится на 13. Следовательно, исходное выражение $3^6 - 1$ делится нацело на 13.

Ответ: что и требовалось доказать.

Способ 2: Использование формулы разности кубов

Представим выражение $3^6 - 1$ как разность кубов, так как $3^6 = (3^2)^3$ и $1 = 1^3$. Выражение принимает вид: $3^6 - 1 = (3^2)^3 - 1^3$.

Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, где $a = 3^2$ и $b = 1$: $(3^2 - 1)((3^2)^2 + 3^2 \cdot 1 + 1^2)$.

Вычислим значение $3^2 = 9$ и подставим его в разложение: $(9 - 1)(9^2 + 9 + 1) = 8 \times (81 + 9 + 1) = 8 \times 91$.

В полученном произведении один из множителей, число 91, делится нацело на 13, так как $91 = 7 \times 13$. Поскольку один из множителей делится на 13, то и все произведение делится на 13. Следовательно, исходное выражение $3^6 - 1$ делится нацело на 13.

Ответ: что и требовалось доказать.