Номер 16, страница 82 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Параграф 15. Разность квадратов двух выражений. Глава 2. Целые выражения. Рабочая тетрадь 1 - номер 16, страница 82.

Условие.

16. При каком значении $a$ уравнение $(a^2 - 64)x = a + 8:$

1) имеет бесконечно много корней;

2) не имеет корней;

3) имеет один корень?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Данное уравнение $(a^2 - 64)x = a + 8$ является линейным уравнением вида $Bx = C$, где коэффициент при $x$ равен $B = a^2 - 64$, а свободный член равен $C = a + 8$. Количество корней такого уравнения зависит от значений параметра $a$.

Для анализа уравнения разложим коэффициент при $x$ на множители, используя формулу разности квадратов: $a^2 - 64 = (a - 8)(a + 8)$.

Таким образом, исходное уравнение можно переписать в виде: $(a - 8)(a + 8)x = a + 8$.

Теперь рассмотрим каждый случай отдельно.

1) имеет бесконечно много корней;

Уравнение имеет бесконечно много корней, если оно принимает вид $0 \cdot x = 0$. Это возможно только в том случае, когда коэффициент при $x$ и свободный член одновременно равны нулю. Составим и решим систему уравнений: $ \begin{cases} a^2 - 64 = 0 \\ a + 8 = 0 \end{cases} $

Из второго уравнения сразу находим $a = -8$. Подставим это значение в первое уравнение для проверки: $(-8)^2 - 64 = 64 - 64 = 0$. Оба уравнения обращаются в верные равенства. Следовательно, при $a = -8$ исходное уравнение принимает вид $0 \cdot x = 0$, и его решением является любое число.
Ответ: при $a = -8$.

2) не имеет корней;

Уравнение не имеет корней, если оно принимает вид $0 \cdot x = C$, где $C \neq 0$. Это происходит, когда коэффициент при $x$ равен нулю, а свободный член не равен нулю. Составим систему условий: $ \begin{cases} a^2 - 64 = 0 \\ a + 8 \neq 0 \end{cases} $

Решением первого уравнения $a^2 - 64 = 0$ являются $a = 8$ и $a = -8$. Согласно второму условию $a + 8 \neq 0$, мы должны исключить значение $a = -8$. Таким образом, единственное значение, удовлетворяющее системе, это $a = 8$. При $a = 8$ уравнение принимает вид $(8^2 - 64)x = 8 + 8$, то есть $0 \cdot x = 16$. Это уравнение не имеет решений.
Ответ: при $a = 8$.

3) имеет один корень?

Уравнение имеет ровно один корень, если коэффициент при $x$ не равен нулю. В этом случае корень можно найти по формуле $x = C/B$. Условие таково: $a^2 - 64 \neq 0$.

Это неравенство, $(a - 8)(a + 8) \neq 0$, выполняется, когда ни один из множителей не равен нулю, то есть: $a - 8 \neq 0$ и $a + 8 \neq 0$. Отсюда получаем $a \neq 8$ и $a \neq -8$. При всех этих значениях $a$ уравнение имеет единственный корень $x = \frac{a+8}{a^2 - 64} = \frac{a+8}{(a-8)(a+8)} = \frac{1}{a-8}$.
Ответ: при $a \neq 8$ и $a \neq -8$.