Номер 5, страница 83 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Рабочая тетрадь 1. Глава 2. Целые выражения. Параграф 16. Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений - номер 5, страница 83.

Условие.

5. Упростите выражение:

1) $a^2 + (4 - a)^2 =$

2) $(7x - 2)^2 + 28x =$

3) $b^2 + 100 - (b - 10)^2 =$

4) $2m(m + 1) - (m - 3)^2 =$

5) $(x - 8)^2 - (x - 6)(x + 6) =$

6) $(3x - 5)^2 - (3x - 1)(3x + 5) =$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) $a^2 + (4 - a)^2$

Для упрощения этого выражения раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

$(4 - a)^2 = 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot a + a^2 = 16 - 8a + a^2$.

Теперь подставим полученное выражение обратно в исходное:

$a^2 + (16 - 8a + a^2) = a^2 + 16 - 8a + a^2$.

Приведем подобные слагаемые (члены с одинаковой переменной в одинаковой степени):

$(a^2 + a^2) - 8a + 16 = 2a^2 - 8a + 16$.

Ответ: $2a^2 - 8a + 16$.

2) $(7x - 2)^2 + 28x$

Сначала раскроем скобки по формуле квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$(7x - 2)^2 = (7x)^2 - 2 \cdot 7x \cdot 2 + 2^2 = 49x^2 - 28x + 4$.

Подставим это в исходное выражение:

$(49x^2 - 28x + 4) + 28x = 49x^2 - 28x + 4 + 28x$.

Сократим подобные слагаемые ($-28x$ и $28x$ взаимно уничтожаются):

$49x^2 + 4$.

Ответ: $49x^2 + 4$.

3) $b^2 + 100 - (b - 10)^2$

Раскроем скобки $(b - 10)^2$ по формуле квадрата разности.

$(b - 10)^2 = b^2 - 2 \cdot b \cdot 10 + 10^2 = b^2 - 20b + 100$.

Подставим в исходное выражение. Так как перед скобкой стоит знак минус, все знаки внутри скобок изменятся на противоположные при их раскрытии:

$b^2 + 100 - (b^2 - 20b + 100) = b^2 + 100 - b^2 + 20b - 100$.

Приведем подобные слагаемые:

$(b^2 - b^2) + 20b + (100 - 100) = 0 + 20b + 0 = 20b$.

Ответ: $20b$.

4) $2m(m + 1) - (m - 3)^2$

Упростим выражение по частям. Сначала раскроем первые скобки, используя распределительный закон умножения:

$2m(m + 1) = 2m \cdot m + 2m \cdot 1 = 2m^2 + 2m$.

Затем раскроем вторые скобки по формуле квадрата разности:

$(m - 3)^2 = m^2 - 2 \cdot m \cdot 3 + 3^2 = m^2 - 6m + 9$.

Теперь объединим все вместе, не забывая поменять знаки во втором выражении из-за минуса перед скобкой:

$(2m^2 + 2m) - (m^2 - 6m + 9) = 2m^2 + 2m - m^2 + 6m - 9$.

Приведем подобные слагаемые:

$(2m^2 - m^2) + (2m + 6m) - 9 = m^2 + 8m - 9$.

Ответ: $m^2 + 8m - 9$.

5) $(x - 8)^2 - (x - 6)(x + 6)$

Это выражение содержит две формулы сокращенного умножения: квадрат разности и разность квадратов.

Раскроем первую скобку: $(x - 8)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 8 + 8^2 = x^2 - 16x + 64$.

Раскроем вторую часть по формуле разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$:

$(x - 6)(x + 6) = x^2 - 6^2 = x^2 - 36$.

Подставим полученные выражения в исходное:

$(x^2 - 16x + 64) - (x^2 - 36) = x^2 - 16x + 64 - x^2 + 36$.

Приведем подобные слагаемые:

$(x^2 - x^2) - 16x + (64 + 36) = 0 - 16x + 100 = -16x + 100$.

Ответ: $100 - 16x$.

6) $(3x - 5)^2 - (3x - 1)(3x + 5)$

Сначала раскроем первую скобку по формуле квадрата разности:

$(3x - 5)^2 = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 5 + 5^2 = 9x^2 - 30x + 25$.

Затем раскроем произведение двух скобок $(3x - 1)(3x + 5)$, перемножив каждый член первой скобки на каждый член второй (метод FOIL):

$(3x - 1)(3x + 5) = 3x \cdot 3x + 3x \cdot 5 - 1 \cdot 3x - 1 \cdot 5 = 9x^2 + 15x - 3x - 5$.

Приведем подобные слагаемые во втором выражении: $9x^2 + (15x - 3x) - 5 = 9x^2 + 12x - 5$.

Теперь подставим все в исходное выражение:

$(9x^2 - 30x + 25) - (9x^2 + 12x - 5) = 9x^2 - 30x + 25 - 9x^2 - 12x + 5$.

Приведем подобные слагаемые:

$(9x^2 - 9x^2) + (-30x - 12x) + (25 + 5) = 0 - 42x + 30 = -42x + 30$.

Ответ: $30 - 42x$.