Номер 6, страница 84 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

6. Решите уравнение:

1) $(x - 11)^2 - x(x - 12) = 1;$

Решение.

Ответ:

2) $(5x + 1)^2 - (5x - 1)(5x + 2) = 7;$

3) $(x + 4)^2 - (2x + 1)(x - 3) = 19;$

Решение.

Ответ:

4) $(3x + 4)^2 + (4x - 3)^2 = 41.$

Решим уравнение $(x - 11)^2 - x(x - 12) = 1$.

Сначала раскроем скобки. Для первого слагаемого используем формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(x - 11)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 11 + 11^2 = x^2 - 22x + 121$.

Для второго слагаемого раскроем скобки, умножив $-x$ на каждый член в скобках:

$-x(x - 12) = -x \cdot x - x \cdot (-12) = -x^2 + 12x$.

Теперь подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$(x^2 - 22x + 121) + (-x^2 + 12x) = 1$.

Упростим выражение, приведя подобные слагаемые:

$(x^2 - x^2) + (-22x + 12x) + 121 = 1$.

$-10x + 121 = 1$.

Перенесем 121 в правую часть уравнения, изменив знак:

$-10x = 1 - 121$.

$-10x = -120$.

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на -10:

$x = \frac{-120}{-10}$.

$x = 12$.

Ответ: 12.

Решим уравнение $(5x + 1)^2 - (5x - 1)(5x + 2) = 7$.

Раскроем скобки. Для $(5x + 1)^2$ используем формулу квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(5x + 1)^2 = (5x)^2 + 2 \cdot 5x \cdot 1 + 1^2 = 25x^2 + 10x + 1$.

Перемножим две скобки $(5x - 1)(5x + 2)$:

$(5x - 1)(5x + 2) = 5x \cdot 5x + 5x \cdot 2 - 1 \cdot 5x - 1 \cdot 2 = 25x^2 + 10x - 5x - 2 = 25x^2 + 5x - 2$.

Подставим полученные выражения в уравнение:

$(25x^2 + 10x + 1) - (25x^2 + 5x - 2) = 7$.

Раскроем вторые скобки, поменяв знаки на противоположные из-за минуса перед ними:

$25x^2 + 10x + 1 - 25x^2 - 5x + 2 = 7$.

Приведем подобные слагаемые:

$(25x^2 - 25x^2) + (10x - 5x) + (1 + 2) = 7$.

$5x + 3 = 7$.

Перенесем 3 в правую часть:

$5x = 7 - 3$.

$5x = 4$.

Найдем $x$:

$x = \frac{4}{5} = 0,8$.

Ответ: 0,8.

Решим уравнение $(x + 4)^2 - (2x + 1)(x - 3) = 19$.

Раскроем скобки. Для $(x + 4)^2$ используем формулу квадрата суммы:

$(x + 4)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = x^2 + 8x + 16$.

Перемножим скобки $(2x + 1)(x - 3)$:

$(2x + 1)(x - 3) = 2x \cdot x - 2x \cdot 3 + 1 \cdot x - 1 \cdot 3 = 2x^2 - 6x + x - 3 = 2x^2 - 5x - 3$.

Подставим выражения в уравнение:

$(x^2 + 8x + 16) - (2x^2 - 5x - 3) = 19$.

Раскроем вторые скобки:

$x^2 + 8x + 16 - 2x^2 + 5x + 3 = 19$.

Приведем подобные слагаемые:

$(x^2 - 2x^2) + (8x + 5x) + (16 + 3) = 19$.

$-x^2 + 13x + 19 = 19$.

Вычтем 19 из обеих частей уравнения:

$-x^2 + 13x = 0$.

Вынесем общий множитель $-x$ за скобки:

$-x(x - 13) = 0$.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два корня:

$-x = 0$ или $x - 13 = 0$.

$x_1 = 0$, $x_2 = 13$.

Ответ: 0; 13.

Решим уравнение $(3x + 4)^2 + (4x - 3)^2 = 41$.

Раскроем обе скобки по формулам квадрата суммы и квадрата разности:

$(3x + 4)^2 = (3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 4 + 4^2 = 9x^2 + 24x + 16$.

$(4x - 3)^2 = (4x)^2 - 2 \cdot 4x \cdot 3 + 3^2 = 16x^2 - 24x + 9$.

Подставим выражения в уравнение:

$(9x^2 + 24x + 16) + (16x^2 - 24x + 9) = 41$.

Приведем подобные слагаемые:

$(9x^2 + 16x^2) + (24x - 24x) + (16 + 9) = 41$.

$25x^2 + 25 = 41$.

Перенесем 25 в правую часть:

$25x^2 = 41 - 25$.

$25x^2 = 16$.

Разделим обе части на 25:

$x^2 = \frac{16}{25}$.

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x = \pm\sqrt{\frac{16}{25}}$.

$x = \pm\frac{4}{5}$.

Получаем два корня: $x_1 = \frac{4}{5} = 0,8$ и $x_2 = -\frac{4}{5} = -0,8$.

Ответ: -0,8; 0,8.