Номер 12, страница 87 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Рабочая тетрадь 1. Глава 2. Целые выражения. Параграф 16. Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений - номер 12, страница 87.

Условие.

12. Найдите значение выражения:

1) $(3a - 6b)^2 + (3a + 6b)^2 - 6a^2$, если $a = \frac{1}{2}$, $b = -\frac{1}{3}$;

Решение.

Упростим данное выражение:

$(3a - 6b)^2 + (3a + 6b)^2 - 6a^2 =$

Ответ:

2) $(1 - 4c^3)(4c^3 + 1) + (4c^3 - 3)^2$, если $c = \frac{1}{6}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Найдем значение выражения $(3a - 6b)^2 + (3a + 6b)^2 - 6a^2$, если $a = \frac{1}{2}$, $b = -\frac{1}{3}$.

Сначала упростим выражение, используя формулы сокращенного умножения: квадрат разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$ и квадрат суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Раскроем скобки:

$(3a - 6b)^2 = (3a)^2 - 2 \cdot 3a \cdot 6b + (6b)^2 = 9a^2 - 36ab + 36b^2$

$(3a + 6b)^2 = (3a)^2 + 2 \cdot 3a \cdot 6b + (6b)^2 = 9a^2 + 36ab + 36b^2$

Теперь подставим раскрытые скобки обратно в исходное выражение:

$(9a^2 - 36ab + 36b^2) + (9a^2 + 36ab + 36b^2) - 6a^2$

Приведем подобные слагаемые:

$9a^2 + 9a^2 - 6a^2 - 36ab + 36ab + 36b^2 + 36b^2 = (18a^2 - 6a^2) + 0 + (36b^2 + 36b^2) = 12a^2 + 72b^2$

Теперь, когда выражение упрощено, подставим в него числовые значения $a = \frac{1}{2}$ и $b = -\frac{1}{3}$:

$12a^2 + 72b^2 = 12 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 72 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^2 = 12 \cdot \frac{1}{4} + 72 \cdot \frac{1}{9}$

Выполним вычисления:

$\frac{12}{4} + \frac{72}{9} = 3 + 8 = 11$

Ответ: 11

2) Найдем значение выражения $(1 - 4c^3)(4c^3 + 1) + (4c^3 - 3)^2$, если $c = \frac{1}{6}$.

Сначала упростим выражение. Заметим, что первая часть $(1 - 4c^3)(4c^3 + 1)$ является произведением разности и суммы, что соответствует формуле разности квадратов: $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.

$(1 - 4c^3)(1 + 4c^3) = 1^2 - (4c^3)^2 = 1 - 16c^6$

Вторая часть $(4c^3 - 3)^2$ является квадратом разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

$(4c^3 - 3)^2 = (4c^3)^2 - 2 \cdot 4c^3 \cdot 3 + 3^2 = 16c^6 - 24c^3 + 9$

Теперь сложим упрощенные части:

$(1 - 16c^6) + (16c^6 - 24c^3 + 9)$

Приведем подобные слагаемые:

$1 - 16c^6 + 16c^6 - 24c^3 + 9 = (1+9) + (-16c^6+16c^6) - 24c^3 = 10 - 24c^3$

Подставим в упрощенное выражение значение $c = \frac{1}{6}$:

$10 - 24c^3 = 10 - 24 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^3 = 10 - 24 \cdot \frac{1}{216}$

Выполним вычисления:

$10 - \frac{24}{216} = 10 - \frac{1}{9} = \frac{90}{9} - \frac{1}{9} = \frac{89}{9}$

Ответ: $\frac{89}{9}$