Номер 16, страница 89 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Параграф 16. Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений. Глава 2. Целые выражения. Рабочая тетрадь 1 - номер 16, страница 89.

Условие.

16. Докажите, что при любом натуральном $n$ значение выражения $(n^2 + 1)(n - 1) - (n - 1)^3$ кратно 4.

Решение.

Разложим данное выражение на множители

$(n^2 + 1)(n - 1) - (n - 1)^3 =$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение.

Для доказательства того, что выражение $(n^2 + 1)(n - 1) - (n - 1)^3$ кратно 4 при любом натуральном $n$, необходимо упростить данное выражение.

Разложим данное выражение на множители. Для этого вынесем общий множитель $(n-1)$ за скобки:

$(n^2 + 1)(n - 1) - (n - 1)^3 = (n - 1) \cdot [ (n^2 + 1) - (n - 1)^2 ]$

Теперь раскроем квадрат разности в квадратных скобках, используя формулу сокращенного умножения $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(n - 1)^2 = n^2 - 2n + 1$

Подставим полученное выражение обратно и упростим выражение в квадратных скобках:

$(n - 1) \cdot [ (n^2 + 1) - (n^2 - 2n + 1) ] = (n - 1) \cdot ( n^2 + 1 - n^2 + 2n - 1 )$

Приведем подобные слагаемые внутри скобок:

$(n - 1) \cdot ( (n^2 - n^2) + 2n + (1 - 1) ) = (n - 1) \cdot (2n)$

В результате преобразований мы получили выражение $2n(n - 1)$.

Теперь проанализируем полученное выражение на кратность 4. Выражение $n(n - 1)$ представляет собой произведение двух последовательных натуральных чисел. Среди двух последовательных натуральных чисел одно всегда четное, а другое — нечетное. Рассмотрим два возможных случая:

1. Если $n$ — четное число, то оно делится на 2. Следовательно, произведение $n(n - 1)$ делится на 2.

2. Если $n$ — нечетное число, то $(n - 1)$ является четным числом и делится на 2. Следовательно, произведение $n(n - 1)$ также делится на 2.

Таким образом, произведение $n(n - 1)$ всегда является четным числом, то есть его можно представить в виде $2k$, где $k$ — некоторое натуральное число. Тогда исходное выражение равно $2 \cdot (2k) = 4k$.

Поскольку выражение $4k$ при любом натуральном $k$ делится на 4 без остатка, мы доказали, что исходное выражение кратно 4 при любом натуральном $n$.

Ответ: Исходное выражение $(n^2 + 1)(n - 1) - (n - 1)^3$ преобразуется к виду $2n(n-1)$. Произведение двух последовательных натуральных чисел $n(n-1)$ всегда четно (делится на 2), поэтому все выражение $2n(n-1)$ всегда делится на $2 \cdot 2 = 4$. Следовательно, утверждение доказано.