Номер 1, страница 91 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Рабочая тетрадь 1. Глава 2. Целые выражения. Параграф 17. Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений - номер 1, страница 91.

Условие.

1. Представьте трёхчлен в виде квадрата двучлена:

1) $a^2 + 20a + 100 = (\_ + \_)^2$

2) $16a^2 - 56ab + 49b^2 = \_$

3) $81m^2n^2 - 18mn + 1 = \_$

4) $4c^6 - 4c^3 + 1 = \_$

5) $25x^4 + 30x^2y^4 + 9y^8 = \_$

6) $2ab + 25a^2 + \frac{1}{25}b^2 = \_$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Чтобы представить трёхчлен $a^2 + 20a + 100$ в виде квадрата двучлена, используем формулу квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
В данном выражении первый член $x^2 = a^2$, следовательно, $x=a$.
Третий член $y^2 = 100$, следовательно, $y=10$.
Проверим, соответствует ли средний член формуле удвоенного произведения: $2xy = 2 \cdot a \cdot 10 = 20a$.
Так как все члены соответствуют формуле, получаем: $a^2 + 20a + 100 = (a + 10)^2$.
Ответ: $(a + 10)^2$.

2) Для выражения $16a^2 - 56ab + 49b^2$ используем формулу квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Первый член $x^2 = 16a^2$, следовательно, $x=4a$.
Третий член $y^2 = 49b^2$, следовательно, $y=7b$.
Проверим средний член: $2xy = 2 \cdot (4a) \cdot (7b) = 56ab$. Знак "минус" перед ним соответствует формуле квадрата разности.
Следовательно, $16a^2 - 56ab + 49b^2 = (4a - 7b)^2$.
Ответ: $(4a - 7b)^2$.

3) Для трёхчлена $81m^2n^2 - 18mn + 1$ применим формулу квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Первый член $x^2 = 81m^2n^2$, следовательно, $x=9mn$.
Третий член $y^2 = 1$, следовательно, $y=1$.
Проверим средний член: $2xy = 2 \cdot (9mn) \cdot 1 = 18mn$. Знак "минус" перед ним соответствует формуле.
Таким образом, $81m^2n^2 - 18mn + 1 = (9mn - 1)^2$.
Ответ: $(9mn - 1)^2$.

4) Выражение $4c^6 - 4c^3 + 1$ можно представить в виде квадрата двучлена с помощью формулы квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Первый член $x^2 = 4c^6 = (2c^3)^2$, следовательно, $x=2c^3$.
Третий член $y^2 = 1$, следовательно, $y=1$.
Проверяем средний член: $2xy = 2 \cdot (2c^3) \cdot 1 = 4c^3$. Знак "минус" соответствует формуле.
Значит, $4c^6 - 4c^3 + 1 = (2c^3 - 1)^2$.
Ответ: $(2c^3 - 1)^2$.

5) Для трёхчлена $25x^4 + 30x^2y^4 + 9y^8$ используем формулу квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
Первый член $x^2 = 25x^4 = (5x^2)^2$, следовательно, $x=5x^2$.
Третий член $y^2 = 9y^8 = (3y^4)^2$, следовательно, $y=3y^4$.
Проверим средний член: $2xy = 2 \cdot (5x^2) \cdot (3y^4) = 30x^2y^4$. Он совпадает со средним членом в исходном выражении.
Следовательно, $25x^4 + 30x^2y^4 + 9y^8 = (5x^2 + 3y^4)^2$.
Ответ: $(5x^2 + 3y^4)^2$.

6) Переставим члены выражения $2ab + 25a^2 + \frac{1}{25}b^2$ для удобства: $25a^2 + 2ab + \frac{1}{25}b^2$.
Используем формулу квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
Первый член $x^2 = 25a^2$, следовательно, $x=5a$.
Третий член $y^2 = \frac{1}{25}b^2$, следовательно, $y=\frac{1}{5}b$.
Проверим средний член: $2xy = 2 \cdot (5a) \cdot (\frac{1}{5}b) = 2ab$. Он совпадает со средним членом в исходном выражении.
Таким образом, $25a^2 + 2ab + \frac{1}{25}b^2 = (5a + \frac{1}{5}b)^2$.
Ответ: $(5a + \frac{1}{5}b)^2$.